Vergelijking ellips opstellen als brandpunten en raaklijn bekend zijn
Hoi. Kunnen jullie me aub helpen? Ik heb a.s. dinsdag een hertentamen en ik kom niet uit onderstaande opgave:
Gegeven : F1 (2,0) en F2 (-2,0) en x+2y=8. Gevraagd: de vergelijking van de ellips, die de gegeven rechte raakt en die F1 en F2 als brandpunten heeft.
Tot nu toe heb ik dit: Uit de brandpunten volgt, dat de ellips door de oorsprong gaat. Algemene vergelijking van de ellips dan x2/a2 + y2/b2 = 1 Uit brandpunten volgt dat c=2, dus a2=b2+4 Raaklijn x+2y=8, ofwel y=-1/2x+4. Het is een raaklijn, heeft dus 1 raakpunt. Raakpunt echter onbekend. Je kunt daarvoor y=-1/2x+4 invullen in algemene ellipsvergelijking, maar daar kom je niet verder mee. Raakpunt vind je vaak door vergelijking ellips = vergelijking raaklijn, maar daar kom je hier ook niet verder mee, je weet immers de complete ellipsvergelijking niet. En met de normaal kom ik niet verder dan y=2x+constante.
Ik heb al allerlei wegen geprobeerd, maar ik kom geen steek verder. Kan iemand me a.u.b. helpen?
Alvast heel hartelijk bedankt!
Groeten, Boudewijn
Boudew
Student hbo - vrijdag 20 augustus 2004
Antwoord
Tot nu toe heb je dus als vergelijking van de ellips: x2/(b2+4) + y2/b2 = 1 En als je nu eens x = 8 - 2y in die vergelijking subsitueert? Je krijgt dan een 2e-graads vergelijking in y. Zo'n vergelijking heeft meestal twee oplossingen. Maar omdat de lijn een raaklijn is geldt D = 0. En dat geeft dan een (4e graads) vergelijking in b. Na wat rekenwerk (...) kom ik op b4 - 8b2 - 48 = 0. En dat levert dan b2 = 12 (of b2 = -4). Zodat de vergelijking van de ellips is: x2/16 + y2/12 = 1
