\require{AMSmath}

Een vijver met in het midden een eilandje

Hallo daar,
Naar aanleiding van mijn 2e zit wiskunde, probeer ik het examen 1e zit als oefening nog eens te hermaken. Met volgend vraagstuk heb ik echter wat moeilijkheden:

De groendienst van een stad wil in een park een vijver aanleggen met in het midden een eilandje. Daartoe dienen graafwerken te gebeuren; om te kunnen schatten hoeveel materiaal er nodig is, willen we weten welk volume grond er uitgegraven en weggevoerd moet worden. De vorm van de vijver wordt beschreven door het wentelen van een halve ellips om de Y-as. De vergelijking van de ellips is
4(x - 4.5)² + 9y² = 36. Alle afstanden worden uitgedrukt in meters.

(de grafiek ziet er zo uit: x-y-assenstelsel, met de ellips op de x-as gelegen, tussen ellips en x-as zit nog wat ruimte, en die ellips wordt zo rond de y-as gedraaid zodat er een torus wordt bekomen).

(a) Geef aan welk deel van de ellips beschreven wordt door de functies:
x = f1(y) = 4.5 + 3Ö(1 - (y²)/4)
respectievelijk
x = f2(y) = 4.5 - 3Ö(1 - (y²)/4)

(b) Verklaar waarom het volume van de vijver gegeven wordt door de formule:
V = p ò f1(y)²dy - p ò f2(y)²dy
met als grenzen van de bepaalde integraal : [-2 ; 0]
(p.s. ò is het integraalteken)

(c) bereken deze integraal daar heb ik geen moeite mee.

(d) Wat is de oppervlakte van het eilandje in het midden? Hier weet ik absoluut niet hoe ik eraan moet beginnen. Ik dacht dat we een totale oppervlakte (eiland+vijver) moesten bereken en daar dan de gevonden opp voor de vijver (zie d) van af trekken. Maar het probleem is dat ik niet weet hoe ik aan die totale opp moet komen.
Alvast bedankt!

Gwen
Student universiteit België - donderdag 19 augustus 2004

Antwoord

1) Het zijn de halve ellipsen die rechts resp. links van het middelpunt (4¹/₂,0) liggen. Ik neem aan dat je gezien hebt dat men uit de ellipsvergelijking de x heeft vrijgemaakt. Merk ook op dat je in beide formules slechts y-waarden kunt invullen die in het interval [-2,2] liggen. Bovendien geven tegengestelde y-waarden dezelfde x-waarde.

2) Draai je tekening eens linksom, zodat de y-as horizontaal komt te liggen en de x-as verticaal. Het rechter stuk van de ellips komt dan boven te liggen en het linkerstuk komt onderaan te liggen. De eerste integraal beschrijft dan de inhoud die het bovenste stuk ellips beschrijft en daar wordt de inhouid die het onderste stuk ellips beschrijft weer vanaf getrokken.
Als je in de twee integraalformules x en y verwisselt, dan herken je vast wel de 'gewone' inhoudsformule bij wenteling om de x-as.

3) geen probleem, zeg je.

4) Het lijnstukje tussen (0,0) en (1¹/₂,0) gaat de bovenkant van het eiland maken bij de wenteling rond de y-as en je krijgt dan een cirkel met straal 1¹/₂.
De basis van het eiland wordt gevormd door het lijnstuk tussen de punten (0,-2) en (4¹/₂,-2). Dat wordt dan ook weer een cirkel.
Of bedoelen ze de zijdelingse oppervlakte van het eiland?
Die wordt gevormd door je functie f2(y), maar ik weet niet of je beschikt over de formules voor oppervlaktes van ruimtelichamen.

MBL
vrijdag 20 augustus 2004

©2001-2024 WisFaq