Kunt U me aub even helpen: bereken de oppervlakte van de figuur begrensd door y2=2x en de cirkel y2=4x-x2. Alvast bedankt.
karina
Student Hoger Onderwijs België - donderdag 17 juni 2004
Antwoord
Hoi,
Bekijk de volgende tekening.
Het gele gebied is de gevraagde oppervlakte (dat is de "gemeenschappelijke" oppervlakte van de twee relaties). Boven de x-as kun je de vergelijking van de halve cirkel als volgt opstellen g(x)=Ö(4x-x2) en de gedeeltelijke parabool heeft als functievoorschrift h(x)=Ö(2x). De functies worden in de x-as gespiegeld. Dus de oppervlakte boven de x-as is hetzelfde als de oppervlakte beneden de x-as. Bepaal het snijpunt van de twee functies (duidelijk is dat het punt (0,0) een snijpunt is). Dus g(x)=h(x)? Ö(4x-x2) = Ö(2x) Û 4x-x2 = 2x Û 4x - 2x - x2 = 0 Û -x2 + 2x = 0 Û x(-x+2) = 0 Û x = 0 of x = 2.
De gemeenschappelijke oppervlakte op het interval [0,2] komt van de 'halve' parabool, dus 0ò2Ö(2x)dx bepalen. Tip: Gebruik substitutie-methode óf splits Ö(2x) op in Ö(2)*Ö(x), maak gebruik van constante factor vóór integraalteken zetten, en Ö(x) = x½ en dan de integreerregel voor exponenten òxndx = xn+1/n+1. Op het interval [2,4] wordt de gemeenschappelijke oppervlakte door de halve cirkel bepaald, dus 2ò4Ö(4x-x2)dx bepalen. Tip: Het is een kwart van de hele cirkel, oppervlakte van hele cirkel is 4p, dus een kwart hiervan is p. Dus de oppervlakte boven de x-as is de som van de bepaalde integralen. Maar de oppervlakte onder de x-as is precies hetzelfde, dus de totale oppervlakte boven de x-as (die heb je zojuist berekend) verdubbelen levert de oppervlakte van de beide relaties. De oppervlakte bedraagt 16/3 + 2p.
