Algebra

Analyse

Bewijzen

De grafische rekenmachine

Discrete wiskunde

Fundamenten

Meetkunde

Oppervlakte en inhoud

Rekenen

Schoolwiskunde

Statistiek en kansrekenen

Telproblemen

Toegepaste wiskunde

Van alles en nog wat


\require{AMSmath}

Tweede afgeleide

Ik loop vast bij het berekenen van de tweede afgeleide mbv de productregel:

functies:
f=x2+2
g=x3+3x

Eerste afgeleide:
[f·g]’ = f·g’+f’·g
(x2+2)·[x3+3x]’+[x2+2]’·(x3+3x)

Tweede afgeleide:
[f·g’+f’·g]’ = f'·g'+f·g + f·g+f'·g'

verder dan dit kom ik niet... ik vraag me af wat ik met die f en g aanmoet...

Lilian
Leerling bovenbouw havo-vwo - donderdag 27 mei 2004

Antwoord

Beste Lilian,

hernoem de afgeleide functies; f'=h en g'=k, je krijgt dan:
[f·g]'=f·g'+f'·g=f·k+h·g en dus [f·g'+f'·g]'=[f·k+h·g]'=[f·k]'+[h·g]'=f·k'+f'·k+h·g'+h'·g.
Vul nu weer voor h=f' en voor k=g' in, zodat: [f·g]"=f·(g')'+f'·g'+f'·g'+(f')'·g=f·g"+f'·g'+f'·g'+f"·g=f·g"+2·f'·g'+f"·g.

Controleer met de geven functies:
[f·g]'=(x2+2)·[x3+3x]’+[x2+2]’·(x3+3x)=(x2+2)·(3x2+3)+2x·(x3+3x)=3x4+3x2+6x2+6+2x4+6x2=5x4+15x2+6.
Dus [f·g]"=[5x4+15x2+6]'=20x3+30x.

En met de formule die we zojuist hebben gevonden:
[f·g]"=f·g"+2·f'·g'+f"·g=(x2+2)·[x3+3x]"+2·[x2+2]'·[x3+3x]'+[x2+2]"·(x3+3x)=(x2+2)·(6x)+2·(2x)·(3x2+3)+(2)·(x3+3x)=6x3+12x+12x3+12x+2x3+6x=20x3+30x.

Je ziet dat de "recht-toe-recht-aan - methode" hetzelfde resultaat geeft als de "substitutie - methode" (die met de k-tjes en h-tjes). Ondanks het schrijfwerk hoop ik dat je er blij van wordt ! Reken het desnoods zelf nog na. Succes!

Sander
donderdag 27 mei 2004

©2001-2024 WisFaq