Algebra

Analyse

Bewijzen

De grafische rekenmachine

Discrete wiskunde

Fundamenten

Meetkunde

Oppervlakte en inhoud

Rekenen

Schoolwiskunde

Statistiek en kansrekenen

Telproblemen

Toegepaste wiskunde

Van alles en nog wat


\require{AMSmath}

Deelgroepen

G,* is een groep en a Î G
Bewijs dat de verzameling van de elementen die met a commuteren, een deelgroep is van G,*

Hoe kan je dit bewijzen?

lien
Student Hoger Onderwijs België - donderdag 13 mei 2004

Antwoord

Controleer of de groepsaxioma's worden vervuld.
1) De associativiteit is verzekerd, want die geldt per definitie in G.

2) De eenheid e behoort tot de genoemde verzameling V, want e*a = a*e = a geldt altijd in een groep.

3) Als xÎV en yÎV, dan geldt x*a = a*x en y*a = a*y
Nu moet je nagaan of het product x*y óók tot V behoort.
(x*y)*a = x*(y*a) = x*(a*y) = (x*a)*y = (a*x)*y = a*(x*y) en daarmee zie je dat (x*y) met a commuteert.

4) Nu nog nagaan of, als xÎV, óók x-1ÎV.
Vergelijk hiertoe bijvoorbeeld eens (x*a)*x-1 met x*(x-1*a).

(x*a)*x-1=(a*x)*x-1 = a*(x*x-1) = a*e = a.

x*(x-1*a) = (x*x-1)*a = e*a = a

De conclusie is dus dat x*x-1*a = x*a*x-1 en door links met x-1 te vermenigvuldigen,krijg je dat x-1*a = a*x-1

MBL
donderdag 13 mei 2004

©2001-2024 WisFaq