T: - : x - ax + b (met a,b Î Is T een automorfisme van de groep ,+ ?
Hoe kan je dit verklaren? en wat is het antwoord?
lien
Student Hoger Onderwijs België - donderdag 13 mei 2004
Antwoord
Als b niet 0 is, is het geen automorfisme, want het neutrale element van de groep (hier 0) wordt dan niet op zichzelf afgebeeld. Immers, algemeen geldt T(0)=b.
We kunnen de eisen even nagaan. 1) Is T(x1+x2)=T(x1)+T(x2)? T(x1+x2)=a(x1+x2)+b. T(x1)+T(x2)=ax1+b+ax2+b=a(x1+x2)+2b. Aan voorwaarde 1) is dus alleen voldaan als 2b=b, dus als b=0. 2) Is T een bijectie van op ? Maw, heeft T een inverse? Dit is duidelijk niet het geval als a=0. Als a¹0, dan is ax+b=y Û x=(y-b)/a, dus dan is S met S(x)=(x-b)/a de inverse afbeelding.
Samenvattend, T is een automorfisme precies dan als b=0 en a¹0.
-
