Ik wil bewijzen dat kgv(1,2,...,m)=e^(4*m) vor m=1.
Ik denk dat ik de volgende gegevens nodig heb: ( ik gebruik voor n!/(n-r)!r! de notatie (n,r), n moet dus boven de r staan)
1.Zij p1=2p2=3p3...pn..de rij priemgetallen. Er geldt pn=2^(2^(n-1)). 2.Voor elk natuurlijk getal n geldt [PRODUCT]p4^n, het product loopt over alle p=n 3.Voor elk natuurlijk getal n geldt (2^(2n))/2n=(2n,n)2^(2n). 4.Stel P^b|(2n,n) voor een zeker priemgetal p. Dan is p^b=2n.
Ik heb ergens gelezen dat je het volgden kan gebruiken : Schrijf kgv(1,2,...,m)=[PROD]p^b, het product loopt over alle p=n. Schat elke priemmacht p^b naar boven af. Maar ik begrijp niet wat ik met deze informatie moet doen.
Veel dank en groeten,
Viky
viky
Student hbo - dinsdag 27 april 2004
Antwoord
Het kleinste gemene veelvoud van de getallen 1 tot en met m is gelijk aan het product van alle priemmachten pa zo dat pa kleiner of gelijk is aan m, maar pa+1 groter dan m. Dus is kgv(1,2,..,m) hoogstens mt = (eln(m))t, waarbij t het aantal priemgetallen kleiner of gelijk aan m is. Het is dus voldoende aan te tonen dat t hoogstens 4*m/ln(m) is. Het is welbekend dat het aantal priemgetallen kleiner of gelijk m asymptotisch gelijk is aan m/ln(m); dat het altijd kleiner of gelijk is aan 4*m/ln(m) zal dan ook wel bekend zijn. Kunt u dat navragen aan de universiteit?