\require{AMSmath}

Dit is een reactie op vraag 22947

Re: Re: Spiegelingsprincipe van Schwarz

Hallo Guido Terra,

Ik heb nog enkele vragen:

1. Hoe volgt nu uit g(2-z*)=g(z)* dat g(z)=(z+2)
en uit g(1/z)=g(z)* dat g(z)=g(z/(2z+1)?

2. Dan heb ik nog een vraag over punt 4.Ik bgrijp niet goed wat er gebeurt met het beelden van de cirkels onder g.Waarom worden deze op cirkels met kleinere stralen afgebeeld?

Groeten,

Viky

viky
Student hbo - vrijdag 23 april 2004

Antwoord

Ad 1: alleen de eigenschap g(2-z^*)=g(z)^* is natuurlijk niet genoeg om g(z)=g(z+2) te bewijzen. Je moet het combineren met een andere (spiegel-eigenschap). Wat dacht je van:
g(z) = g(-z^*)^* = g(2-(z+2)^*)^* = g(z+2).
Voor de tweede moet je de eigenschap g(1/z^*)=g(z)^* (vergeet de conjugaties niet) combineren met de net gevonden eigenschap g(z)=g(z+2). Probeer dat zelf uit te werken...

Ad 2. Dat is een eigenschap van de Möbius-transformatie's, waar bovengenoemde spiegelingen allemaal toe behoren (op complexe conjugatie na, maar doet niets af aan deze eigenschap). Bewijzen zijn in vele tekstboeken te vinden. Voor als je het zelf wilt doen geef ik je de volgende hint:
de vergelijking die de cirkel met straal r om midelpunt a beschrijft luidt |z-a|²=r². Vul hierin voor z het beeld van de Möbius-transformatie of (spiegeling) in (dus bijvoorbeeld |1/z^*-a|²=r². Als je dit dan omschrijft zodat het duidelijk weer de vergelijking voor een cirkel is, dan heb je laten zien dat het volledig origineel van een cirkel weer een cirkel is. Omdat de transformatie's bijectief zijn betekent dat ook dat de beelden van cirkels cirkels zijn.

gt
vrijdag 23 april 2004

©2001-2024 WisFaq