\require{AMSmath}

Ring

Gegeven is de volgende stelling:
Voor elk lichaam geldt: elk element (¹ n) heeft maar één inverse.

Ik heb dit als volgt proberen te bewijzen.
Bewijs:
Veronderstel dat in een bepaald
lichaam een element b voorkomt dat
twee inverses heeft,
zeg c en c’. (R4: a.a-1 = e)
b.c = e (1) (R4: a.a-1 = e)
b.c’ = e (2) (1) en (2)
b.c = b.c’ (beide zijden delen door b)
c = c’
Conclusie: elk element heeft maar één tegengestelde.

Waar ik nu over twijfel is of mijn laatste argument wel mag.
Mag ik dus beide zijden door b delen of is er een ander argument voor deze stap.

Ben benieuw naar het antwoord.

Godelieve

Godeli
Student hbo - zondag 11 april 2004

Antwoord

Dag Godelieve,

Je hebt te maken met een lichaam (in Vlaanderen: een veld), dus je hebt commutativiteit dus je hoeft je geen zorgen te maken over links of rechts vermenigvuldigen. Dat is dus al geen probleem.

Het laatste argument mag je zeker gebruiken: al wat je daar doet is vermenigvuldigen met een invers van b, en je weet dat dat bestaat wegens eigenschappen van een lichaam.

Een andere (nuja) manier: stel a heeft inversen b en c, dan geldt:
b = b·e = b·ac = ba·c = e·c = c
waarin je als eigenschappen gebruikt: e is neutraal element, · is associatief en commutatief.

Groeten,
Christophe.

Christophe
maandag 12 april 2004

©2001-2024 WisFaq