Ik moet de dimensiestelling ( Zij L:V®W een lineaire afbeelding, dan is dim(Ker L)+ dim(Im L)= dim V ) kunnen toepassen op concrete functies, zoals de volgende:
L:2®:(x,y)®x+y
Mijn redenering is als volgt:
Ker L= {(x,-x) met xÎ} Voor elke (x, -x) Î Ker L geldt: (x, -x)= x(1,-1). Bijgevolg is {(1,-1)} een basis van Ker L. Dus dim (Ker L)=1
Im L= {(x,y) met x,y Î}. Voor elke (x,y)ÎIm L geldt: (x,y)= x(1,0)+ y(0,1); dus {(1,0),(0,1)} is een basis van Im L. Dus dim(Im L)=2
Maar 2+1=3 en dim 2=2. Waar zit mijn fout?
Alvast bedankt,
Evelyn
Evelyn
Student universiteit België - woensdag 7 april 2004
Antwoord
Hallo Evelyn,
Als L:V®W dan is het beeld ImL een deel van W. Hier geldt dus: ImLÍ
maw: ImL is niet een verzameling van koppels (x,y) zoals je zegt, maar wel een verzameling van reële getallen x+y. En inderdaad, elk element r van is het beeld van bijvoorbeeld (r,0), of (0,r) of (r/2,r/2) of...
Dus ImL=, zodat dus dim(ImL)=1.
En 1+1=2 klopt dus wel.
Onthoud dus goed dat de kern een deel van V is, en het beeld een deel van W.
2®