\require{AMSmath}

Een cirkel verdelen door lijnen

Als n = aantal lijnen en g = maximaal aantal gebieden dat je kunt krijgen, krijg ik deze tabel:


Dit is een kwadratisch verband, toch?
Hoe vind ik de formule erbij? Hoort er bij een kwadratisch verband altijd n² in de formule te staan?

P.v.L.
Leerling bovenbouw havo-vwo - zaterdag 23 maart 2002

Antwoord

Ja, dit is een kwadratisch verband. Je kan dat zien als je kijkt naar de toename.
De toename: +2 +3 +4 +5 +6 +7 enz..
De toename van de toename: +1 +1 +1 +1 +1 enz...
In het geval dat de toename van de toename constant is, dan heb je te maken met een kwadratisch verband (mits n toeneemt met een constante!)

In een formule van een kwadratisch verband staat inderdaad altijd n². Daarnaast een term met n (kan, moet niet) en een getal (kan, moet niet) en verder NIETS!

Hoe kan je formule vinden?
Zet eerst eens de kwadraten er bij:


Soms zie je het dan al, in dit geval waarschijnlijk niet.
Dan kan je het volgende doen:
De algemene formule is g = an² + bn + c
Hierbij is c = 1 (waarom?)
Invullen:
2 = 4a + 2b + 1 (1)
4 = 16a + 4b + 1 (2)

Uit (2)-4·(1) volgt:
4 = 16a + 4b + 1
8 = 16a + 8b + 4
---------------- -
-4 = -4b - 3
4b = 1
b = ¹/₄

Invullen in (1):
2 = 4a + 2·¹/₄ + 1 (1)
2 = 4a + ¹/₂ + 1
4a = ¹/₂
a = ¹/₈

Dus de formule wordt:
g = ¹/₈n² + ¹/₄n + 1

Even controleren of het klopt (mag je zelf doen) en klaar is Kees of Klara...

Zie Circle Division by Lines

WvR
zaterdag 23 maart 2002

©2001-2024 WisFaq