Heel erg bedankt voor je uitleg. Ik heb nog de volgende vragen.(ik schrijf i.p.v ggd(x,y),(x,y))
1. Over vraag 1.Waarom bekijk je eigenlijk z modulo 4? 2. Over vraag 3.Er moet staan: Omdat v en N oneven zijn, volgt omdat 1 en -1 niet congruent modulo 8 zijn, dat v2=2(M2)-N2=8(Y4)-N2 onmogelijk is, en het tweede geval v2=N2-2(M2)=X4-8(Y4) moet dus gelden.Waarom geldt dit? Dit stukje had ik niet goed opgeschreven.
Voor de rest was alles duidelijk.
Ik heb nog een vraag over een andere relatie, die bijna identiek is aan de vorige op een factor na:
(1) x4-4(y4)=z2
Ook deze relatie is niet oplosbaar, het bewijs lijkt op het vorige bewijs.Toch heb ik nog een paar vragen over dit bewijs(weer zo'n lange!)
Bewijs We kunnen ook hier aannemen dat (x,y)=1. Stel nu dat x even is en schrijf x=2k. Dan (2k)4-4(y4)=z2 4(4k4-y4)=z2 dus hieruit volgt dat 4|z2, en 2|z, want z kun je schrijven als z=2k of als z=2k+1, dus z2=4k2 respectievelijk z2=4k2+4k+1.Alleen z2=4k2 kan een veelvoud zijn van 4, dus z=2k. Vraag1. Is bovenstaande correct?
(vervolg bewijs) Dus (z,2y2,x)=1.Schrijf (1) in de volgende vorm
z2+(2y2)2=z2
dan vind je dat z, 2y2, x2 een primitieve oplossing is van x2+y2=z2 (zie theorie 1 onderaan).Daarom kunnen we schrijven (volgens de lemma) z=u2-v2 2y2=2uv x2=u2-v2 en (u,v)=1, u en v zijn niet congruent mod 2 Omdat (u,v)=1 en y2=uv, kunnen we schrijven u=s2 en v=t2,met (s2,t2)=1.Maar dan x2=(s2)2+(t2)2, dus t2, s2, x is ook een oplossing van de vergelijking x2+y2=z2.Daarom kunnen we schrijven
t2=m2-n2 s2=2mn x=m2+n2 en (m,n)=1 en m en n zijn niet congruent mod 2.
Vraag2.Nu moet ik weer de lemma toepassen. Moet dat zo: Er geldt (2m,n)=1 want m en n zijn niet congruent mod 2. 2m=Y2 (of m=2Y2) en n=X2 en (2Y,X)=1.Is dit allemaal correct?
Vraag 3. En nu begrijp ik niet hoe het bewijs verder moet.
Theorie1 De positieve getallen x,y,z vormen een primitieve Pythagorische triplet, met y even d.e.s.d.a. er positieve gehele getallen bestaan m en n met (m,n)=1 en m en n niet congruent mod 2, zodat,
x=m2-n2 y=2mn z=m2+n2
viky
Student hbo - woensdag 31 maart 2004
Antwoord
Over vraag 1: ik gebruikte modulo 4 omdat daarmee duidelijk te zien is wat er bewezen moest worden. Het zijn van die trucjes die in de getaltheorie nou eenmaal resultaten opleveren.
Over vraag 3: v en N zijn oneven en modulo 8 bekeken levert hun kwadraat dan 1 op. Het middelste stukje 8y4 levert modulo 8 natuurlijk 0 op. Maar dan staat er links 1 en rechts 0+1 en dat is uiteraard ongelijk.
Vraag 1: het lijkt me dat je wilt bewijzen dat z een even getal moet zijn. Als x even is, dan x4 ook en 4y4 uiteraard ook. Dús is z2 even en dus z ook. Maar in hetgeen je opschrijft gaat het volgens mij ook goed.
Vraag 2: dat is precies hetzelfde als in het andere vraagstuk dat je ons voorlegde, en wat je opschrijft ziet er gezond uit.
Vraag 3: XX2=n m2+n2=x zodat je een kleinere oplossing hebt gevonden, waarmee je tot tegenspraken bent gekomen.
Hopelijk voor jou (en mij!) kun je nu verder, maar het blijft ingewikkelde materie.
Dit is een reactie op vraag 22194 
X2=n 
m2+n2=x zodat je een kleinere oplossing hebt gevonden, waarmee je tot tegenspraken bent gekomen.