ABCD is een vierkant. Zijde AB = a. Construeer op zijde AB, op BC, CD en zijde DA de punten P,Q,R en S zo, dat PQRS een vierkant is, en opp. PQRS= (2/3)a2 (stel AP=x).
Syreet
Leerling bovenbouw havo-vwo - donderdag 21 maart 2002
Antwoord
Beste Syreeta,
Laten we voor het gemak a=1 stellen. Het maakt voor de constructie niet echt wat uit, dan heb je met maten toch niets te maken, alleen maar met maten ten opzichte van elkaar.
Goed, we hebben AP=x en dus AS=1-x. Nu is APS een van de vier driehoeken die overblijft naast het vierkant PQRS. Die vier driehoeken zijn congruent, samen met oppervlakte 1/3, dus elk met oppervlakte 1/12. Hieruit leiden we af:
OppAPS = 1/2·x·(1-x) = 1/12
en dus
6x2-6x+1=0
waaruit volgt met de abc-formule
x = 1/2 ± 1/33.
Het getal 3 is eenvoudig uit een Pythagorees driehoekje te vinden, want 3=22-12. Dus je neemt een lijnstukje van lengte 1, en een loodlijn door het ene uiteinde, zeg U. Dan snijdt je de loodlijn met een cirkel met straal 2 met het andere uiteinde V als middelpunt. Kies een van de snijpunten, noem het W, en dan is UW van de gevraagde lengte.
En als je een lijnstukje van een bepaalde lengte hebt, dan kun je dat ook vrij eenvoudig met een constructie in drieën delen. Heb je die afstand van 1/33 aldus geconstrueerd, dan is dat de afstand van de middens van de zijden van het vierkant tot P, Q, R en S.
APS een van de vier driehoeken die overblijft naast het vierkant PQRS. Die vier driehoeken zijn congruent, samen met oppervlakte 1/3, dus elk met oppervlakte 1/12. Hieruit leiden we af:
3.