Algebra

Analyse

Bewijzen

De grafische rekenmachine

Discrete wiskunde

Fundamenten

Meetkunde

Oppervlakte en inhoud

Rekenen

Schoolwiskunde

Statistiek en kansrekenen

Telproblemen

Toegepaste wiskunde

Van alles en nog wat


\require{AMSmath}

Partieel integreren

hallo,
ik heb wat probleemkes met partieel integreren. Zouden jullie mij met deze oef. kunnen helpen???

1) òbgtanx*dx

2)òx3*e-x/2 *dx

joske
3de graad ASO - dinsdag 9 maart 2004

Antwoord

Ik neem aan dat je met het *principe* van partieel integreren op de hoogte bent:

òf'(x).g(x)dx = [f(x)g(x)] - òf(x)g'(x)dx

bgtan noemen wij overigens arctan
1e opgave:
schrijf voor òarctan(x)dx nu
ò1.arctan(x)dx
Deze "pakken we partieel aan", door eerst de 1 te primitiveren (wordt dus x) en daarna de arctan(x) te differentieren (wordt dus 1/(1+x2) ).

ò1.arctan(x)dx = [x.arctan(x)] - òx.1/(1+x2) dx
... doe zelf ...
= [x.arctan(x) - 1/2.ln(1+x2)]

Dus de primitieve van arctan(x) is x.arctan(x) - 1/2.ln(1+x2)

opgave 2:
òx3.exp(-x2)dx

Bij deze opgave moet je een paar keer achter elkaar partieel integreren, waarbij je er telkens rekening mee moet houden (TRUC!) dat je het x.exp(-x2) gedeelte primitiveert en de rest van het stukje ervoor telkens differentieert.
Immers: alléén exp(-x2) is niet te primitiveren, maar van x.exp(-x2) is wèl wat te bakken als primitieve. Namelijk:
-1/2exp(-x2). (differentieer em ter controle maar weer eens terug)

Om je een klein stukje op weg te helpen:
òx3.exp(-x2)dx
= òx2.x.exp(-x2)dx
= [x2.-1/2.exp(-x2)] - ò2x.-1/2.exp(-x2)dx
= [-1/2x2exp(-x2)] + òx.exp(-x2)dx

en de integraal die je hier overgehouden hebt, doe je nogmaals partieel. Dat laat ik nu expres even aan jou over...
uiteindelijk zul je uitkomen op

(-1/2-1/2x2)exp(-x2)

groeten,
martijn

mg
dinsdag 9 maart 2004

©2001-2024 WisFaq