\require{AMSmath}

Dit is een reactie op vraag 20725

Re: Limieten berekenen van goniometrische functies

Bedankt, door uw hulp is het me gelukt toch een hele reeks oefeningen te kunnen oplossen.

Het is wel de bedoeling dat het geheel in principe in één goniometrisch getal staat hé? (sin, cos, tan of cotan) Want je kan toch niet zomaar zeggen: cosx/sinx=1?

Ik heb enkel nog problemen met de volgende limieten, zou u me opnieuw verder willen helpen?

1)lim x0 [(1-cos3x)/ (x.sin2x)]
2)lim x0 [(sin3x-sinx)/x]
3)lim xa [(sin 2x-sin2a)/x-a]

Zo, dat was het dan weer...

Anne
3de graad ASO - zaterdag 28 februari 2004

Antwoord

Dag Anne

Het is niet nodig dat alles herleid wordt naar één goniometrisch getal. Bv. lim_x-o^{(sin x.cos x)}/_x kun je schrijven als lim_x-0(^{sin x}/_x.cos x) = lim_x-0^{sin x}/_x.lim_x-0cos x = 1.1 = 1

1)Vermenigvuldig teller en noemer met (1 + cos 3x).
In de teller krijg je dan (hoofdformule!) sin²3x.
Door nu zowel de teller als de noemer weer te delen door x², en dan in de teller en de noemer de gepaste correctiefactoren te gebruiken kun je weer de stelling i.v.m. ^{sin x}/_x toepassen. Met de lim_x-0(1 + cos 3x) in de noemer heb je geen problemen (cos 0 = 1).
Resultaat : ⁹/₄

2) Splits de breuk in 2 breuken : ^{sin 3x}/_x en ^{sin x}/_x.
Resultaat : 2

3) Pas hier in de teller de formule van Simpson toe. Neem nu ^sin(x-a)/_x-a als een geheel en denk eraan dat, als x naar a nadert, x - a naar 0 nadert. De cos(x+a) levert weer geen probleem op.
Resultaat : 2 cos 2a

Opm.

lim_x-0^{sin 3x}/_x= lim_x-03.^{sin x}/_x = 3.lim_x-0^{sin x}/_x = 3.1 = 3 is FOUT.
Juist is : lim_x-0^{sin 3x}/_x= lim_x-03.^{sin 3x}/_3x = 3.lim_3x-0^{sin 3x}/_3x = 3.1 = 3

LL
zaterdag 28 februari 2004

©2001-2024 WisFaq