\require{AMSmath}

Integratie dmv breuksplitsing

Type: int T(x)/N(x)dx
Bepaal int 2x-2/x²-4x+6 dx. Eerst heb ik N'(x) bepaald nl. N'(x)=2x-2 = 2x-2-2 = T(x)-2, zodat T(x)=N'(x)+2.

Dus int 2x-2/x²-4x+6 dx = int (x²-4x+6)'+2)/x²-4x+6 dx =
int d(x²-4x+6)/x²-4x+6 + int 2/x²-4x+6 dx =

Hier kwam ik dus zelf nog uit maar de volgende stap snap ik niet nl.
= ln (x²-4x+6) + int 2/2+(x-2)² d(x-2) ???????

Ik hoop dat jullie me verder kunnen helpen, alvast bedankt.

Bram.

Bram N
Student hbo - vrijdag 27 februari 2004

Antwoord

Deze truc noemen we: kwadraatafsplitsen.
We willen toewerken naar een functie die lijkt op de afgeleide van een arctan. Daarom willen we in plaats van die veelterm waarin zowel het kwadraat van x, als x zelf, voorkomt, een andere vorm maken waarin alleen een kwadraat voorkomt.
Het zal duidelijk zijn dat
x² - 4x + 6 = (x-2)² +2
en dat dx = d(x-2)
daarmee is de juistheid van de stap aangetoond.
Deze methode pas je toe, als je de noemer niet verder kunt ontbinden.
Succes verder

Anneke
vrijdag 27 februari 2004

©2001-2024 WisFaq