weet iemand hoe je moet bewijzen dat een groep van orde 77 steeds cyclisch is?
Koen
Student universiteit België - zondag 25 januari 2004
Antwoord
Hoi Koen,
Algemeen voor een groep G van orde pq, met p en q verschillend en priem:
P is de deelgroep van elementen van orde p, Q die van orde q. De doorsnede van P en Q is enkel e, want een element dat in P en Q zit, heeft orde een deler van p en van q, dus orde 1. Bovendien: |P|=p en |Q|=q.
|P U Q|=p+q-1 Aantal elementen in G, niet in P of Q: pq-p-q+1 Kies g zo een element, niet in P of Q. g heeft orde 1,p,q of pq. Als g orde 1 of p of q had, had het in P of in Q moeten zitten, wegens de uniciteit van de deelgroep. g zit daar echter niet in, dus g heeft orde pq.
Dus moet G cyclisch zijn met elementen g, g2, g3,..., g77=e.
