Ik heb een probleem met het oplossen van volgende integraal $\int{}$cos6x dx
Steven
Student universiteit België - zaterdag 24 januari 2004
Antwoord
Hallo Steven,
Voor even machten van cosinus of sinus moet je altijd hetzelfde doen: zet ze om naar een som van termen van de vorm cos(kx) of sin(kx). Er bestaat een handige driehoek (lijkt sterk op de driehoek van Pascal) die toelaat een nde macht van cosinus meteen om te zetten in een som van cos(kx) met k gaande van 0 tot n. Jammer genoeg kan ik die hier niet terugvinden...
NB: voor oneven machten van cos moet je één cos afsplitsen, die schrijven als d(sin), de overgebleven (even) macht van cos schrijven als even machten van sin via cos2+sin2=1 en dan is de integraal opgelost.
Dan maar specifiek voor deze opgave: cos(6x)=4cos3(2x)-3cos(2x) = 32cos6(x)-48cos4(x)+18cos2(x)-1.
Dus cos6(x)=1/32 * (cos(6x)+48cos4(x)-18cos2(x)+1) (1)
De macht is al gedaald tot 4, bereken dus nu cos(4x): cos(4x)=8cos4(x)-8cos2(x)+1
Dus cos4(x)=1/8 * (cos(4x)+8cos2x-1) Dit kan je invullen in (1)
En weer is de macht gezakt, de cos2x blijft nog over, maar vermits cos(2x)=2cos2(x)-1, kan je ook die wegwerken.
Je krijgt dus een som van cos(6x), cos(4x), cos(2x), 1, ik kwam op 1/32 * (cos(6x)+6cos(4x)+15cos(2x)+10). En die vier integralen zijn basisintegralen.
