Functie zoeken van opgegeven differentiaalvergelijkingen
Nogmaals bedankt voor het rappe antwoord van de vorige vraag.Nu zit ik met het volgende probleem : ik moet de functie f(x) = y1(x) met x0 en y2(x) met x0 bepalen, waarbij y1(x) en y2(x) oplossingen zijn van de respectievelijke differentiaalvergelijkingen y''1 - 2y'1 + 5y1 =0 en y'2 + y2 = (e tot de macht -x) en waarbij f(x), f'(x) en f''(x) continu zijn in elk punt x van
het antwoord zou moeten zijn : y1(x) = (1/2) (e tot de macht x) cos2x y2(x) = (e tot de macht -x)(x+(1/2))
Ik heb de eerste differentiaalvergelijking berekend m.b.v de karakteristiek vergelijking en bekom voor y(x) = (e tot de macht x)(C1cos2x + C2sin2x) Voor de andere differentiaalvergelijking bekom ik y(x) = (e tot de macht -x)(x + C3)
Kunnen jullie mij helpen om, met de bijkomstige voorwaarden van hierboven in de opgave vermeld, C1 en C2 enC3 te berekenen en zo dus tot het antwoord van y1(x) en y2(x) te brengen
Dank u wel voor uw hulp
Peggy
Peggy
Student universiteit Belgiė - zaterdag 24 januari 2004
Antwoord
Hallo Peggy,
In de oplossingen voor y1 en y2 staan nog drie constanten, dat zijn de te bepalen onbekenden. Bovendien heb je drie voorwaarden, namelijk de continuļteit van f, f' en f".
Die continuļteit is gegarandeerd in elk punt van ]-„,0[ en ]0,+„[, maar niet in het punt nul omdat het functievoorschrift daar wijzigt van y1 naar y2. De voorwaarden voor het punt 0 zijn dat de waarde van f (en f' en f") dezelfde moet zijn of je nu van links afkomt (dus voor y1) of van rechts (dus voor y2).
Dus: y1(0)=e0(C1 cos(0)+C2 sin(0)) = C1 En y2(0)=e-0(0+C3) = C3
Besluit: C1=C3(1)
Voorwaarde voor f': y1'=ex(2C2cos(2x)-2C1sin(2x)+C1cos(2x)+C2sin(2x)) (productregel) y1'(0)=e0(2C2+C1) Analoog: y2'(0)=e-x(1-x-C3)=1-C3
Besluit: 2C2+C1=1-C3(2)
En dan doe je nog eens hetzelfde voor de tweede afgeleide. Dit levert je een stelsel van drie vergelijking op in de drie onbekenden, wat makkelijk oplosbaar zou moeten zijn.
En die oplossing zou dus moeten zijn: C1=1/2 C2=0 C3=1/2
Dat klopt al met de vergelijkingen (1) en (2), dus dat ziet er goed uit...
0 en y2(x) met x
0 bepalen, waarbij y1(x) en y2(x) oplossingen zijn van de respectievelijke differentiaalvergelijkingen 
