Ik heb de reeks x_n waarin x_n = 5n/(3n+1) en ik moet bewijzen dat deze Cauchy is (in R), ofwel:
* Voor alle e0, bestaat er een N zodat als m,nN |x_n - xm| e
Gezien het Cauchy-zijn equivalent is aan het convergent zijn, en het snel te zien (en te bewijzen) is dat deze reeks naar 5/3 convergeert, hoef ik in feite voor het Cauchy-zijn enkel te verwijzen naar deze convergentie.
Echter, ik vroeg mij af of het mogelijk was om zonder het gebruik van deze convergentie, aan te tonen dat de rij Cauchy is. Dus direct m.b.v. de definitie (*). Dit wil mij zelf maar niet lukken.
Bedankt voor de moeite.
Ruben
Student universiteit - dinsdag 20 januari 2004
Antwoord
Hallo Ruben,
Als je een paar grote waarden invult voor n, zie je dat je rij langs onder naar 5/3 nadert.
vb: x1000 = 5000/3001 = 1,66611... 5/3
De bedoeling is: je krijgt een e, zoek de bijhorende N-waarde. Wel, als je N bepaalt zodanig dat xN5/3-e dan zal voor elke n,mN gelden: xnÎ]5/3 - e,5/3[ xmÎ]5/3 - e,5/3[
zodat |xn-xm|e
Dus rest alleen nog de ongelijkheid op te lossen: xN5/3-e
of dus: 5N/(3N+1) 5/3-e oplossen naar N, en afronden naar boven.
De definitie (*) geldt dus, en het is dus een Cauchyrij.
x_n
waarin x_n = 5n/(3n+1) en ik moet bewijzen dat deze Cauchy is (in R), ofwel: 