Ik vind niet hoe deze limiet uit te werken : vooral door die natuurlijke logaritmen
lim[ln(ln(1+x4))/ln(ln(1+x2)),x®0].
Yvonne
Student Hoger Onderwijs België - dinsdag 13 januari 2004
Antwoord
Hoi,
Neem f(x)=ln(ln(1+x4)) en g(x)=ln(ln(1+x2)). Je wil L=lim(f(x)/g(x),x®0) berekenen.
Omdat lim(f(x),x®0)=lim(g(x),x®0)=0 mogen we de l'Hôpital toepassen: L=lim(f'(x)/g'(x),x®0).
Welnu: f'(x)= 1/ln(1+x4).[ln(1+x4)]'= 1/ln(1+x4).1/ln(1+x4).[1+x4]'= 4x3/ln2(1+x4) en g'(x)= 1/ln(1+x2).[ln(1+x2)]'= 1/ln(1+x2).1/ln(1+x2).[1+x2]'= 2x/ln2(1+x2)
Dus is f'(x)/g'(x)=2x2.ln2(1+x2)/ln2(1+x4)... Nog altijd een 0/0 geval voor x®0, maar de buitenste laag van ln() is er toch af.
We noemen M=lim[x.ln(1+x2)/ln(1+x4),x®0], dan is L=2.M2.
We hernoemen f(x)=x.ln(1+x2) en g(x)=ln(1+x4), zodat: f'(x)=1.ln(1+x2)+x.1/(1+x2).2x=ln(1+x2)+2x2/(1+x2) en g'(x)=4x3/(1+x4). Ook hier is lim[f'(x)/g'(x),x®0] een 0/0 geval en kunnen we de l'Hôpital nog eens toepassen... Veel rekenen, maar het gaat er wel op vooruit: de ln(x) worden telkens verdreven en uiteindelijk krijgen we een rationale vorm waarvan we de limiet zeker kunnen berekenen. Vanaf hier laat ik het aan jou
