Aantonen dat een groep niet enkelvoudig is mbv Sylow p deelgroepen
hallo, we moeten aantonen dat een groep van orde 992 niet enkelvoudig is. 992= 2^5 * 31 = 32 * 31. (a) #Syl 2 = 1 of 31 en (b) #syl 31= 1 of 32. Je moet dus aantonen dat je niet 31 bij a en 32 bij b gelijk kunt hebben, maar hoe doe je dit nu juist?
Kunnen jullie me helpen, pleazzzzzz, ik heb me al suf gezocht. Wolleke xxx
Wollek
Student universiteit België - maandag 29 december 2003
Antwoord
Hallo Wolleke!
Het aantal Sylow-p-deelgroepen is altijd gelijk aan 1 mod p. En dit voor elke p die een deler is van de orde, zijnde hier 992. Dus je kijkt naar p=2 en naar p=31.
Bovendien is dat aantal ook altijd een deler van de totale orde, dus een deler van 992. De delers zijn 1,2,4,8,16,32,31,62,124,248,496,992.
Dus er zijn 1 of 31 Sylow-2-deelgroepen; er zijn 1 of 32 Sylow-31-deelgroepen.
Nu is het zo, dat als er voor een bepaalde p, juist één Sylow-p-deelgroep is, dat dit dan een normaaldeler is, en dat je groep dus niet meer enkelvoudig kan zijn.
1. Stel dat je 1 Sylow-31-deelgroep hebt, dan is dat een normaaldeler.
2. Stel dus dat je 32 Sylow-31-deelgroepen hebt. Je weet dat al deze deelgroepen elkaar enkel snijden in {e}, het eenheidselement. Dus naast {e} heb je nog 32*30=960 elementen in de Sylow-31-deelgroepen. Al deze 960 hebben orde p=31. Je hebt nu nog 992-960-1=31 elementen over die buiten de Sylow-31-deelgroepen zitten.
2.a. Als je 1 Sylow-2-deelgroep hebt, is dit een normaaldeler en is de groep niet enkelvoudig.
2.b. Als je 31 Sylow-2-deelgroepen hebt, dan snijden die elkaar enkel in {e}, dus daarnaast heb je nog 31*31=961 elementen over. Dat kan niet, zoveel zijn er niet meer. Let er wel op dat een Sylow-2-deelgroep niet 2 elementen bevat, maar wel 32...
Conclusie: een groep van orde 992 kan nooit enkelvoudig zijn.
Een voorbeeld waarbij je meer priemdelers hebt zodat er wat meer tel- en redeneerwerk bij komt kijken, is een groep van orde 616.
Re: Aantonen dat een groep niet enkelvoudig is mbv Sylow p deelgroepen 