Hoi, Het punt van Brocard en het punt van Fermat, wat voor speciale punten zijn dit precies? Nog een vraagje: Hoe kan je bewijzen dat het hoogtepunt, het zwaartepunt en het middelpunt ALTIJD op één rechte liggen? Nl. de rechte van Euler...
Bedankt!
Pieter
2de graad ASO - zondag 14 december 2003
Antwoord
-- Brocard -- Kies, uitgaande van een driehoek ABC, een hoek w zo, dat cot(w) = cot(A) + cot(B) + cot(C) Dan gaan de lijnen die de hoeken OAB, OBC en OCA vormen waarbij OAB = OBC = OCA = w, door één punt. En dat punt O is het (eerste) punt van Brocard. Zie bijvoorbeeld: Punten van Brocard NB. Er is ook nog een tweede punt van Brocard!
-- Fermat -- Teken op de zijden van driehoek ABC gelijkzijdige driehoeken A'BC, B'CA, C'AB, als in onderstaande figuur. Dan gaan de lijnen AA', BB', CC' door één punt F1. Dat F1 punt is het (eerste) punt van Fermat. Zie bijvoorbeeld: Punten van Fermat NB. Er is ook nog een tweede punt van Fermat!
-- Euler-lijn -- Tja, er zijn enkele bewijzen voor de eigenschap dat in een driehoek de punten H, O en Z op één lijn liggen. Zie bijvoorbeeld voor een tweetal bewijzen: Euler-lijn
