Even terug komend op mijn probleem ik definieer even wat er gevraagd word:
Je hebt - lengte zwaartelijn door hoek a - lengte bissectrice (deellijn)door hoek a - hoek a
Nu is het de bedoeling dat de constructie van de driehoek wordt gemaakt met passer of lineaal (maar daarbij mag je niet meten - dus de lineaal niet gebruiken om te meten maar om te tekenen).Passer met bekende straal mag wel. Hoe construeer ik deze driehoek?
Hieronderstaand de context (evt. relevant) Als je van een driehoek de lengtes van de zijden weet, dan kun je die driehoek zonder moeite tekenen met een passer en lineaal. Vele andere contructies, steeds met "drie gegevens" zijn mogelijk b.v. met een zijde, de zwaartelijn naar die zijde en nog een andere zijde. Eén constructie is bijzonder lastig: Gegeven een hoek, de zwaartelijn uit die hoek en de deellijn uit die hoek; construeer de bijbehorende driehoek. Het blijkt mogelijk te zijn de coordinaten van de andere twee hoekpunten uit te rekenen met behulp van analytische meetkunde. Als dat is gelukt wijst de berekening de weg naar de constructie.
paul
Leerling bovenbouw havo-vwo - woensdag 27 februari 2002
Antwoord
Bekijken we de onderstaande figuur. Gegeven zijn twee lijnen die elkaar snijden in punt A onder een gegeven hoek. Verder is gegeven de bisectrice AT met een gegeven lengte. Punt T moet liggen op BC, dus als C wordt vastgelegd, ligt B hiermee eenduidig vast en ook het punt M, dat midden op BC ligt. AM is dan dus de zwaartelijn. De rode kromme is de meetkundige plaats van punt M als C over de lijn beweegt. Snijdt deze meetkundige plaats met de meetkundige plaats van de punten die een afstand van de gegeven lengte van de zwaartelijn tot punt A hebben (dat wil zeggen een cirkel met middelpunt A en als straal de gegeven lengte van de zwaartelijn). De snijpunten van deze twee meetkundige plaatsen leggen punten M vast en daarmee lijnstukken BC
De vraag die overblijft: de meetkundige plaats van de punten M lijkt sterk op een hyperbool. Is dit inderdaad een hyperbool en zo ja, hoe bewijs je dat?Hieronder staat een bewijs, van Lieke de Rooy dat via Jos Remijn hier wordt gepubliceerd.In dit verhaal is het Cabri-plaatje een kwartslag gedraaid.Gegeven is hoek A met coördinaten A(-1,0 ) en benen y = a(x+1) en y= -a(x+1).1. T is voetpunt van de bissectrice, stel T(1,0)2. B en C liggen op de benen en BC gaat door T, stel BC: y = p(x-1)3. De coördinaten van B en C kun je nu uitdrukken in a en p, je vindt danB((p-a)/(p+a), -2ap/(p+a)) en C((p+a)/(p-a), 2ap/(p-a)).4. Zwaartepunt M is het midden van BC, je vindt na middelen van decoördinaten van B en C: M((p²+a²)/(p²-a²), 2a²p/(p²-a²)).De hyperbool door punt T(1,0) met asymptoten y = ax en y = -ax heeftvergelijking:x² - y²/a² = 1.M ligt op deze hyperbool, dit volgt eenvoudig na substitutie van decoördinaten van M in de vergelijking.Je vindt nu de plaats van M door de hyperbool te snijden met de cirkel metmiddelpunt A en straal AM (gegeven).
