Euler heeft ooit een formule voor priemgetallen gevonden. Deze werkte echter alleen tot n=40. Zijn er andere wiskundigen geweest die naar een formule voor priemgetallen hebben gezocht? Hebben zij een formule gevonden die voor bepaalde getallen klopt?
S.Niem
Leerling bovenbouw havo-vwo - woensdag 12 november 2003
Antwoord
Hoi,
Je hebt het wellicht over de formule in Priemgetallen en Euler. Ze werkt inderdaad enkel tot en met n=39 en niet voor n=40.
Er waren hopen andere wiskundigen die zochten naar formules om priemgetallen te bepalen of om eigenschappen ervan in formules te vatten (bijvoorbeeld over hoe regelmatig ze voorkomen, ...). Een paar interessante namen naast die van Euler zijn: Gauss, Carmichael, Legendre, Mersenne, Fermat, Dirichlet, Fibonacci, ... Met een beetje zoeken vind je op deze site zeker één en ander over 'formules voor priemgetallen'.
Pikant detail: we kunnen makkelijk bewijzen dat er geen veelterm f(n) bestaat die voor elke waarde van n een priemgetal oplevert (tenzij f(n) een constante functie is). Formules zoals die van Euler moeten dus vroeg of laat fout gaan.
Bewijs uit het ongerijmde: als f(a)=p, dan is f(a+p)=0(mod p) en omdat f(a+p) priem is, is f(a+p)=p. Bijgevolg is f(a+k.p)=p voor elke natuurlijke k. De functie f(n)-p heeft dus oneindig veel 0-punten is moet dus constant zijn.
