\require{AMSmath}

Vraagstuk

een man heeft een onbekend aantal appels en deelt deze uit : de helft + 1 aan de eerste, de helft van wat overblijft + 1 aan de volgende, en zo aan 7 personen. Hij houdt uiteindelijk één appel over. Met hoeveel appels is hij gestart ? Wij doen als volgt : x = onbekend; eerste man krijgt ¹/₂ x + 1. Rest dus ¹/₂ x -1. Volgende krijgt ¹/₂ x - 1 gedeeld door 2 enz. We komen er zo echter niet uit. Hoe is de denkmethode ?

Manon
1ste graad ASO-TSO-BSO - zondag 19 oktober 2003

Antwoord

Noem x(n) het aantal appels nadat de man persoon n heeft ontmoet. x(7) is dus 1 en we zoeken x(0).

Als hij "de helft plus een" geeft, dan houdt hij "de helft min een" voor zichzelf. Het verband tussen x(n) en x(n+1) is dus x(n+1) = (1/2)x(n) - 1. (*)

Maar we willen teruggaan in de tijd, we willen x(n) weten als we x(n+1) kennen. Los dus vergelijking (*) op naar x(n) zodat er komt

x(n) = 2 [x(n+1) + 1]

Nu vind je achtereenvolgens

x(7) = 1
x(6) = 2(1+1) = 4
x(5) = 2(4+1) = 10
x(4) = 2(10+1) = 22
x(3) = 2(22+1) = 46
x(2) = 2(46+1) = 94
x(1) = 2(94+1) = 190
x(0) = 2(190+1) = 382

PS: Jullie manier was ook goed geweest alleen iets meer rekenwerk. Door altijd maar te delen door twee en dan een af te trekken was er een vergelijking opgedoken in x, namelijk

x/128 - 127/64 = 1 (de overblijvende appel)

De oplossing daarvan is natuurlijk ook x=382.

cl
zondag 19 oktober 2003

©2001-2024 WisFaq