\require{AMSmath}

Stelling van Steiner-Lehmus

Hoe kan men (zo eenvoudig mogelijk) bewijzen dat driehoek
ABC gelijkbenig is, indien de deellijn van hoek A gelijk is
aan de deellijn van hoek B? Dus: gegeven driehoek ABC
(AB=c;BC=a;AC=b) en da=db (da = deellijn hoek A en db = deellijn hoek B)en dus te bewijzen: a=b.

N.B. Met de formules da=$\sqrt{[2/(b+c)]·[{c·b·s·(s-a)}]}$ en db=$\sqrt{[2/(a+c)]·[{c·a·s·(s-b)}]}$ is het nogal omslachtig, maar het kan wel. Maar is het op een andere manier ook mogelijk?
Opm. s is de halve omtrek van driehoek ABC oftewel s=¹/₂·(a+b+c)
(deze formules zijn af te leiden)
Bij voorbaat hartelijk dank!

J. Vri
Iets anders - zaterdag 11 oktober 2003

Antwoord

Hoi,

Dit heet de stelling van Steiner-Lehmus.

Op de site van Dick Klingens staat een aantal bewijzen:

• Stelling van Steiner-Lehmus

Al deze bewijzen hebben iets moeizaams in zich. Dat komt doordat de stelling bijvoorbeeld niet geldt als we de deellijnen vervangen door de "buitenbissectrices" (waarmee je bijvoorbeeld de middelpunten van de aangeschreven cirkels vindt).

Het gaat in analytische versies al mis als je toestaat dat lengtes negatief worden - terwijl er normaal gesproken altijd versies zijn waarin we bijvoorbeeld een van de zijden van de driehoek negatief laten zijn, of voor een vierkantswortel zijn tegengestelde nemen.

Het blijkt dat deze stelling heel specifiek is voor euclidische meetkunde en de bijbehorende metriek met positieve reële getallen. Alle bewijzen hebben daardoor een indirect element in zich dat verwijst naar een tegenspraak hiermee. Bij het 'directe bewijs' van 2.6 op Dick Klingens' pagina is dat bijvoorbeeld het positief zijn van a³ en dergelijke uitdrukkingen. Bij het bewijs van 2.2 wordt zo'n indirect element bijvoorbeeld verstopt in verschil in oriëntatie, waar je eigenlijk ergens een tegengesteld teken bij zou denken.

Genoeg bespiegeld. Ik hoop dat de pagina van Dick Klingens je voldoende eenvoudige bewijzen geeft.

FvL
zondag 12 oktober 2003

©2001-2024 WisFaq