Dit was een examenvraag: bereken van de functie f(x): x®0 x®+¥ x®-¥
f(x)= (1+x4)1/x
Mieke
Student universiteit België - donderdag 19 juni 2003
Antwoord
Hallo Mieke,
Eerst x naar 0. Dit geeft 1¥. Je zou daarin de uitdrukking (1+t)1/t moeten vinden, en wel als volgt: schrijf die 1/x als x3/x4. Dan vind je [(1+x4)1/x4]x3, dus ex3, dus e0 oftewel 1.
Dan x naar +¥: die kan je doen door de ln te nemen. Dat geeft dus ln(1+x4)/x, dus nog steeds oneindig gedeeld door oneindig. De regel van de l'Hôpital zegt dat je teller en noemer moet afleiden, de noemer wordt dus 1, de teller wordt: 4x3/1+x4, dus 0 als je oneindig invult. Conclusie: de limiet van ln(f) = 0, dus de limiet van f = e0 = 1.
x naar -¥: dan heb je -x naar +¥ en dan zie je dat je juist het omgekeerde van de vorige limiet aan het berekenen bent, dus het resultaat is daar 1/1 = 1.
Ik hoop dat je op het examen ook een paar keer 1 uitkwam
