De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Ontbinden in factoren

Ik kom er niet uit bij het ontbinden van factoren en dan het buiten halen van van de haakjes. met een voorbeeld k2+k-42 dat lukt mijn niet ik zou het graag willen dat u mij zou helpen nog een voorbeeld k3-4k en k3+5k2+4k

elly d
Leerling bovenbouw havo-vwo - zondag 6 april 2003

Antwoord

'Normaal' gesproken zijn er twee soorten van ontbinden in factoren:
  • Een zo groot mogelijke term buiten haakjes halen.
  • Van een drieterm een produkt van 2 tweetermen maken.
Deze laatste soort staat wel bekend onder de naam produkt-som methode of som-produkt methode.

Voorbeeld
x2 + 8x + 12 kun je ontbinden als (x + 6)(x + 2).
Controle:
(x + 6)(x + 2) = x2 + 2x + 6x + 12 = x2 + 8x + 12
Klopt!

De vraag is nu: hoe kun je zo'n ontbinding vinden?
Laten we eens kijken naar wat voorbeelden:

(x + 2)(x + 3) = x2 + 5x + 6
(x + 2)(x-3) = x2 - x - 6
(x + 1)(x - 4) = x2 - 3x - 4
(x - 4)(x - 4) = x2 - 8x + 16
(x - 3)(x + 3) = x2 - 9

Als het goed is vallen er twee dingen op:
  • Het getal voor de x aan de rechter kant is de som (optellen dus) van de twee getallen aan de linker kant.
  • Het getal aan de rechter kant is het produkt (vermenigvuldigen dus) van de twee getallen aan de linker kant.

Schematisch:



Nu andersom:

Je wilt een ontbinding vinden voor x2 + 7x + 12
Op grond van het bovenstaande moet je twee getallen zoeken die opgeteld 7 zijn en vermenigvuldigd 12.
Mogelijke kandidaten (alle mogelijke tweetallen met als produkt 12):


Produkt
1 12
2 6
3 4
-1 -12
-2 -6
-3 -4

Als je nu ook nog naar de som kijkt, krijg je volgende tabel:

ProduktSom
1 1213
2 68
3 47
-1 -12-13
-2 -6-8
-3 -4-7

Ik zocht twee getallen met produkt 12 en som 7, dus 3 en 4.
Je kunt x2 + 7x + 12 dus ontbinden als (x + 3)(x + 4)

Vaak is het niet nodig (of zelfs verstandig) om zo'n tabel te maken. Als je goed kijkt (en nadenkt)
kun je het soms zo zien.

k2+k-42:
Met de produkt-som-methode! We zoeken twee getallen die opgeteld 1 zijn en vermenigvuldigd -42. Mogelijk kandidaten zijn:
1-42 de som is -41
2-21 de som is -19
3-14 de som is -11
6-7 de som is -1
...maar ook:
-142 de som is 41
-221 de som is 19
-314 de som is 11
-67 de som is 1
Ah.. de laatste is het!
Dus k2+k-42=(k-6)(k+7)

k3-4k
Dit is een typisch geval van k buiten haakjes halen! Dus schrijven we:
k3-4k=k(k2-4)

Nu bestaat er ook nog zoiets als het merkwaardig produkt!? (zie zoeken). En van die merkwaardige produkten zegt:
a2-b2=(a+b)(a-b)
Toegepast op k(k2-4) krijg je dan nog:
k3-4k=k(k2-4)=k(k+2)(k-2)

Je kunt hierbij ook denken aan de produkt-som-methode! Ik zoek twee getallen die opgeteld nul en vermenigvuldigd -4 zijn. Dat zijn -2 en 2.
k3+5k2+4k
Ook hier kan je een 'k' buiten haakjes halen. Dus schrijven we:
k3+5k2+4k=k(k2+5k+4)

Voor het deel tussen de haakjes kan je de produkt-som-methode gebruiken:
k2+5k+4
Ik zoek weer twee getallen die opgeteld 5 en vermenigvuldigd 4 zijn. Dat zijn 1 en 4.
Dus:
k3+5k2+4k=k(k2+5k+4)=k(k+4)(k+1)

Hopelijk kan je zelf verder. Kijk ook even op onderstaande website voor meer voorbeelden!

Zie Ontbinden in factoren

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 6 april 2003
 Re: Ontbinden in factoren 
 Re: Ontbinden in factoren 



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2021 WisFaq - versie IIb