WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Existentiebewijs

Beste heer/mevrouw,

Ik heb veel moeite met het bewijs dat gegeven is op de volgende stelling (gevolgd door de definities).

Definities:
Zij I een eindige deelverzameling van de natuurlijke getallen. Bekijk de machtsverzameling van I, aangeduid als P(I). Een aantal elementen van P(I) worden aangeduid met het attribuut 'gewenst'. Een element J $\in $ P(I) is maximaal gewenst dan en slechts dan als de volgende twee properties gelden. 1) J is gewenst, en 2) voor alle strikte supersets K van J (waarbij K $\in $ P(I)) geldt dat K niet gewenst is. Tot zover de definities.

Stelling:
Zij C nu een verzameling van alle maximaal gewenste elementen van P(I). Laat J een element zijn van P(I) waarvoor geldt dat $\forall $ Y van C: J $\not\subset $ Y. Dan geldt dat J niet gewenst is.

Bewijs:
Er is een maximaal gewenste verzameling K $\in $ C zodanig dat K $\subset $ J. Dus J is niet gewenst. Einde bewijs.

Hoe weten we dat de verzameling K per se een strikte deelverzameling is van J in het bewijs (zodanig dat deze K ook maximaal gewenst is)?
Nico
Student universiteit - vrijdag 18 februari 2022

Antwoord

Het bewijs klopt niet. Er hoeft helemaal geen $K\in C$ te zijn met $K\subset J$.
Bijvoorbeeld als $I=\{1,2,3,4\}$ met $\{1,2\}$ en $\{3,4\}$ als enige gewenste verzamelingen. Dan is $C$ dus gelijk aan $\bigl\{\{1,2\},\{3,4\}\bigr\}$.
Dan voldoet $J=\{1,3\}$ aan de voorwaarden van de stelling maar er is geen $K$ als in het bewijs.

Het juiste bewijs gaat uit het ongerijmde. Stel $J$ is wel gewenst. Dan is er, omdat $I$ eindig is, een $Y\in C$ met $J\subseteq Y$. In tegenspraak met het gegeven.
De stelling had beter kunnen luiden: "Elke gewenste verzameling is bevat in een maximale gewenste verzameling."

kphart

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zaterdag 19 februari 2022