|
|
\require{AMSmath}
Bepaling limiet via definitie 3
Bewijs dat de rechterlimiet van x/(x-1) voor (x $\to$ 1) = +oneindig
Definitie : Voor iedere M $\ge$ 0 bestaat er een d $>$ 0 zodat als 1 $<$ x $<$ 1+d er geldt dat f(x) = x/(x-1) $>$ M
Laat we stellen dat M $>$ 1 zodat M-1 $>$ 0 of 1-M $<$ 0
We lossen vervolgens de ongelijkheid f(x) $>$ M op.
x/(x-1) $>$ M kan geschreven worden als x $>$ M(x-1) x-1 $>$ 0 (alle x $>$ 1 gezien het de rechterlimiet betreft) waardoor het ongelijkheidsteken behouden blijft
Verdere stappen in deze uitwerking zijn vervolgens
x-Mx+M $>$ 0
x(1-M)+M $>$ 0
x(1-M) $>$ -M
x $<$ -M/(1-M) waarbij we het ongelijkheidsteken omdraaien omdat we 1-M $<$ 0 hebben gesteld
x $<$ M/(M-1)
Om een geschikte d te bepalen stellen we 1+d = M/(M-1) of d = M/(M-1)-1 of d = (M-M+1)/(M-1) of d = 1/(M-1)
Door d = 1/(M-1) te nemen geldt er voor 1 $<$ x $<$ 1+d dat f(x) $>$ M
Is deze afleiding correct en beter geformuleerd dan de voorgaande ? Bestaat er hier misschien ook een efficiëntere afleiding voor ?
Met dank
Rudi
Ouder - vrijdag 3 september 2021
Antwoord
Het ziet er goed uit; het kan een heel klein beetje sneller door $x/(x-1)$ om te schrijven tot $(x-1+1)/(x-1)=1+1/(x-1)$. Dan wordt de ongelijkheid dus $$ \frac1{x-1}+1 > M \text{ of } \frac1{x-1} > M-1 $$ en dat leidt wat sneller tot $\delta=1/(M-1)$.
kphart
|
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zaterdag 4 september 2021
|
|
home |
vandaag |
bijzonder |
gastenboek |
statistieken |
wie is wie? |
verhalen |
colofon
©2001-2024 WisFaq - versie 3
|