De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Oplossing DV met ln(x) functie

Goede morgen Wisfaq team,
Ik vonbd deze vergelijking in een cursus KUL Leuven
Ik heb volgende DV, lineair met variabele coŽfficiŽnten.
x2y"-xy'+y=0
Stel y=x^r
y'=rx^(r-1)
y"=r(r-1)x^(r-2)
Invoeren in de gegeven DV levert een DV met constante coŽfficiŽnten.
x2(r(r-1)x^r.x^-1))-x(rx^r.x^-1)+x^r=0
of:
(r2-r-r+1)x^r=0
we hebben dus r2-2r+1=0 en (r-1)2=0
r=(1;1) is dubbele wortel met multipliciteit k=2 en 1 als dubbel nulpunt
We vinden als oplossing :
y=C(1)x + C(2)((x.LN(x)).
LN(x) is omwille van multipliciteit k=2 toegevoegd in het tweede van de oplossing DV
Als ik alle gegevens terug invoer door de oplossing terug te differentiŽren y;y' en y" en invullen in de gegeven DV kom ik netjes op Nul uit.
Graag een verklaring van de LN(X)in de oplossingen die blijkbaar correct is. Dit is me niet helemaal klaar
Voor bijvoorbeeld multipliciteit 3 zou ik dan in een DV oplossing kunnen hebben van (r-1)^3=0 ; r=(1;1;1)
y=C(1)x+C(2)xlnx +C(3)xln2x) hebben of toch niet ?
Groetjes
Rik

Rik Le
Iets anders - zaterdag 16 juni 2018

Antwoord

Het geheim is dat dit eigenlijk gewoon een tweede-orde DV met constante coŽfficiŽnten is (overigens: na invullen van $x^r$ het je een gewone vergelijking, geen DV meer).
Om dat te zien voer je een nieuwe veriabele in: $z$ en wel zo dat $x=e^z$. Dan kun je $y$ dus als functie van $z$ beschouwen en om het verschil duidelijk te maken schrijf ik even $Y(z)=y(e^z)$.
Dankzij de kettingregel krijg je
$$
Y'(z)=e^z\cdot y'(e^z) = x\cdot y(x)
$$en
$$
Y''(z)=e^z\cdot y'(e^z) + e^z\cdot e^z\cdot y''(e^z) = x\cdot y'(x)+ x^2\cdot y''(x)
$$Je kunt dat ook schrijven $x^2y''(x)=Y''(z)-xy'(x) = Y''(z)-Y'(z)$. Je differentieelvergelijking kun je dus omschrijven tot eentje voor $Y$:
$$
Y''(z)-2Y'(z)+Y(z)=0
$$Die heeft als oplossing $Y(z)=c_1e^z+c_2ze^z$, en daarin herkent je je eigen oplossing, met $e^z=x$ en $z=\ln x$..

Alternatief (afgekeken van de oplossingen van lineaire DV met constante coŽfficiŽnten): probeer een oplossing van de vorm $y(x)=x\cdot u(x)$ te vinden. Na invullen krijg je
$$
x\cdot u''+u'=0
$$ met oplossing $u'(x)=\frac1x$.

kphart
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zaterdag 16 juni 2018
 Re: Oplossing DV met ln(x) functie 



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2021 WisFaq - versie 3