De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Re: Cyclische groep

 Dit is een reactie op vraag 86076 
Ik vat dit niet. Stel je hebt een groep van 5 getallen: {0,1,2,3,4}. Wat ken ik met bovenstaande theorie met deze getallen concreet doen? Hoe kan ik modulair rekenen hier toepassen?

herman
Iets anders - donderdag 12 april 2018

Antwoord

Wat vat je niet? En waar ben je de kreet `cyclische groep' tegengekomen?
Het is wel belangrijk dat je de definitie van het begrip `groep' kent en begrijpt.
Wat $\{0,1,2,3,4\}$ betreft: met `optellen modulo $5$' als bewerking voldoet dit aan de eisen van `groep' (zie de wikipediapagina).
We definiŽren nu $x*y$ als $x+y\pmod5$, dus $0*0=0$, $0*1=1$, ..., $0*4=4$, $1*0=1$, ..., $1*3=4$, $1*4=0$, $2*0=2$, ..., $2*3=0$, $2*4=1$, ..., tot en met $4*4=3$.
Dit voldoet aan de regels, dus
$(x*y)*z=x*(y*z)$ voor alle $x$, $y$, en $z$.
$0*x=x$ voor alle $x$ ($0$ is het neutrale element).
$0*0=0$, $1*4=0$, $2*3=0$, dus elk element heeft een inverse.
Dat is het: we hebben een groep gemaakt.
De groep is cyclisch omdat elk element te schrijven is als een macht van $1$: $2=1*1$, $3=1*1*1$, $4=1*1*1*1$ en $0=1*1*1*1*1$ (en $1*1*1*1*1*1=1$).
En met de machtennotatie kun je dus schrijven $2=1^2$, $3=1^3$, $3=1^4$, en $0=1^5$.
Veel mensen schrijven in dit geval, van modulo rekenen, gewoon $x+y$ in plaats van $x*y$, en $k\cdot x$ in plaats van $x^k$.

kphart
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zaterdag 14 april 2018



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2021 WisFaq - versie 3