De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Bewijs convergentie van een rij

Hallo!

Kan u me misschien helpen met het begrijpen van volgende oefening?

Gegeven de rij functies (fn = indicatorfunctie [0, 1/n)n behoort tot N zonder 0. Bewijs dat deze rij in kwadratisch gemiddelde convergeert naar de nulfunctie, maar niet puntsgewijs.

Ik begrijp niet zo goed hoe deze fn nu werkt. Is die dan 1 in [0,1], [0; 0,5], ... en 0 als het erbuiten ligt?

De oefening is opgelost door een f(x) te definiŽren die 1 is als x=0 en 0 elders. Hoe men aan deze f(x) komt begrijp ik niet... Ik dacht dat dat de nulfunctie moest zijn.

Verder past men daarop de formule voor kwadratische convergentie toe waarbij je de integraal krijgt van 0 tot 1/n van |1-0|2, wat ik begrijp (denk ik), want fn is 1 in het interval 0 tot 1/n en die 0 komt van de nulfunctie. Het is voornamelijk de f(x) waarmee ik in de knoop zit.

Stel dat we nu nemen dat 0 niet in het interval ligt, dan convergeert de rij wel puntsgewijs naar de nulfunctie toch?

Vriendelijke groeten!

Emily
Student universiteit BelgiŽ - zaterdag 24 maart 2018

Antwoord

Vrijwel alles wat je vraagt moet een antwoord hebben in je boek of dictaat.
Zoek de definitie van `indicatorfunctie' op en je ziet: $f_n$ neemt de waarde $1$ aan op $[0,1/n)$ en $0$ daarbuiten.
Kwadratisch convergeren naar de nulfunctie betekent dat $\|f_n-0\|_2$ naar nul convergeert als $n\to\infty$, de definitie van die norm geeft dat je, inderdaad, naar de wortel uit
$$
\int_0^{\frac1n}1 \mathrm{d}x
$$moet kijken. Die is gelijk aan $1/n$, dus $\|f_n-0\|_2=1/\sqrt n$.

Die functie $f$ is niet echt nodig.

kphart
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zaterdag 24 maart 2018



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2021 WisFaq - versie 3