De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Som oneindig aantal continue functies

Beste

Onlangs vertelde de prof ons dat de som van een oneindig aantal continue functies discontinu kan zijn. Ik begreep dit niet zo goed. Heeft dit dan iets te maken met convergentie of de stelling van Weierstrass? Kunt u me misschien een voorbeeld geven om dit te verduidelijken?

Alvast heel erg bedankt! Fijne feestdagen!

Emily
Student universiteit BelgiŽ - woensdag 27 december 2017

Antwoord

Beste Emily,

Dat klopt en dat is waarom jullie later wellicht het begrip van uniforme convergentie (versus 'puntsgewijze') invoeren: in dat geval is de reeks(som) van continue functies steeds continu.

De Weierstrass M-test is een criterium voor uniforme convergentie, dus daarmee ga je geen voorbeeld vinden.

Bekijk bijvoorbeeld de reeks functies $\sum f_n$ met
$$f_n(x) = \frac{x^2}{\left( 1+x^2 \right)^n}$$Voor elke $n$ is dit een continue functie en elke partieelsom is dus ook een continue functie. Voor $x \ne 0$ convergeert de reeks naar $1+x^2$ maar aangezien $f_n(0)=0$ voor elke $n$ geldt wel $f(0)=0$; dus:
$$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
0 & x=0 \\
1+x^2 & x\neq 0\end{array}\right.$$en deze functie is niet continu (in $0$).

mvg,
Tom

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 27 december 2017



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2021 WisFaq - versie 3