WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Omgekeerde eigenschap hoogtelijn rechthoekige driehoek

Bewijs volgende stelling: 'Als in een driehoek de hoogtelijn op een zijde middelevenredig is tussen de stukken waarin ze die zijde verdeelt, dan is de driehoek rechthoekig.'

GEGEVEN: driehoek ABC, h is hoogtelijn uit A op [BC], D is snijpunt van h en [BC]. Hoek D is dus 90·. Ook nog: |BD|/|AD|=|AD|/|DC|

TE BEWIJZEN: Hoek A is 90·

BEWIJS: Indien je gelijkvormigheid kan aantonen van driehoek ABD en driehoek CAD, dan is hoek A₂ = hoek C (ook hoek B = hoek A₁) vanwege de definitie van gelijkvormige driehoeken. Dan kan je zeggen dat hoek A₁=180·-hoekD-hoekC=90·-hoekC (hoekensom driehoek=180·)
$\Rightarrow$ A₁=90·-A₂
$\Rightarrow$ A₁+A₂=90·
$\Rightarrow$ A=90·

Ik heb echter moeite met het vinden van een derde evenredigheid van lijnstukken (Z/Z H Z/Z). Je hebt D=D=90 en de gegeven evenredigheid, maar wat neem je als derde?
Thibau
Student Hoger Onderwijs België - zaterdag 19 augustus 2017

Antwoord

Je hebt als gegeven dat $BD:AD=AD:DC$, dat kun je ook schrijven als
$$
BD=\frac{AD}{DC}\cdot AD
$$
er geldt natuurlijk ook dat
$$
AD=\frac{AD}{DC}\cdot DC
$$
Pas nu de stelling van Pythagoras toe:
$$
AB^2=BD^2+AD^2 = \left(\frac{AD}{DC}\right)^2(AD^2+DC^2) = \left(\frac{AD}{DC}\right)^2\cdot AC^2
$$
en daar is je derde evenredigheid.

kphart

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zaterdag 19 augustus 2017