De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Afstand middelpunten van ingeschreven en omgeschreven cirkel

Beste, ik weet niet hoe ik precies aan deze oefening moet beginnen:

Hoe groot is de afstand tussen de middelpunten van de ingeschreven en omgeschreven cirkel van een driehoek met zijden 6, 8 en 10

Kunt u me hiermee helpen?
Alvast bedankt!

shaki
2de graad ASO - zaterdag 8 oktober 2016

Antwoord

Hallo Shaki,

Dit is een rechthoekige driehoek!
Laten we hem eens in een assenstelsel plaatsen met $A$(0,0), $B$(8,0) en $C$(0,6).

Omdat het een rechthoekige driehoek is, is het midden van de hypothenusa (schuine zijde) $BC$ het middelpunt van de omgeschreven cirkel. Je kunt dit op verschillende manieren zien, bijvoorbeeld door de middelloodlijnen van $AB$ en $AC$ te snijden.

Dus het middelpunt van de omgeschreven cirkel is $M$(4,3).

Het middelpunt van de ingeschreven cirkel, zeg $I$, moet natuurlijk liggen op de bissectrice van $\angle BAC$, dus op de lijn $y=x$. En de $x$-co÷rdinaat en $y$-co÷rdinaat zijn gelijk aan de straal van de ingeschreven cirkel.

Nou is er een trucje waarmee je die straal $r$ kunt uitrekenen. De afstand van $I$ tot $AB$, $AC$ en $BC$ is immers telkens $r$.
Dus de oppervlakte van bijvoorbeeld $\Delta ABI$ is gelijk aan $\frac 12 r\cdot AB$. Op die manier is de oppervlakte van $\Delta ABC$ gelijk aan $\frac 12 r \cdot (AB + AC + BC) = \frac 12 r \cdot 24 = 12r$.
De oppervlakte van $\Delta ABC$ als rechthoekige driehoek is ook gelijk aan $\frac 12 \cdot 6 \cdot 8 = 24$. Het combineren van de twee oppervlaktes geeft dat $r=2$.

Dus de co÷rdinaten van het middelpunt van de ingeschreven cirkel zijn $I$(2,2).

De afstand tussen die twee punten is nu rechttoe rechtaan met Pythagoras uit te rekenen en wordt $\sqrt 5$.

Als je de twee stralen hebt gevonden is er ook een algemene formule voor de afstand tussen de twee middelpunten. Zie de links hieronder.

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 9 oktober 2016



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  gastenboek |  statistieken |  wie is wie? |  verhalen |  colofon

©2001-2022 WisFaq - versie 3