De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Re: Machtreeksen van standaardfuncties

 Dit is een reactie op vraag 82930 
Dag Tom,

Hoe easy, en ik kwam er echt niet uit!! Soms kan een hint toch wonderen doen!!!
In mijn boek staat onderstaande opgave. Heeft u enig idee wat de bedoeling hiervan is?

$$f(x) = \frac{1}{1-x} = \sum_{k=0}^{\infty} x^k = 1+x+x^2+x^3+\cdots$$ $$\int_0^x f(t) \, dt = \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}x^k = - \ln|1-x|$$"Ga dit zelf na."

Alvast dank!

Lene
Leerling bovenbouw havo-vwo - dinsdag 20 september 2016

Antwoord

Beste Lene,

De opgave is nogal beknopt omschreven maar ik veronderstel dat je van de gegeven machtreeks (met gekende som) moet vertrekken om de onderste gelijkheid aan te tonen.

Je hebt in je cursus misschien gezien dat je een dergelijke machtreeks, waar deze convergeert, term-per-term mag integreren. Vertrek van:
$$\frac{1}{1-x} = 1+x+x^2+x^3+\cdots$$Integreren van het linkerlid levert $-\ln|1-x|$ en integreren van het rechterlid levert:
$$x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}+\cdots = \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}x^k$$Helpt dat?

mvg,
Tom

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 20 september 2016
 Re: Re: Machtreeksen van standaardfuncties 



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2021 WisFaq - versie 3