De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Bewijzen door volledige inductie

Hoi,

Ik moet tegen morgen de volgende 2 stellingen bewijzen door volledige inductie. Ik weet echter niet hoe dit te doen :(. Willen jullie me helpen?

1) 1+2+...+n= n(n+1)/2
2) 12+22+...+n2=n(n+1)(2n+1)/6

Kaatje
Leerling bovenbouw havo-vwo - donderdag 8 oktober 2015

Antwoord

Beste Kaatje,

Volledige inductie werkt door eerst aan te tonen dat de gelijkheid juist is voor een bepaalde waarde van n (meestal neem je hiervoor de eenvoudigste waarde, zijnde de 'startwaarde' $n = 1$).
Daarna neem je aan dat de gelijkheid juist is voor $n$, en dien je te bewijzen dat deze voor $n+1$ ook juist is. Aangezien je niet van te voren hebt gespecificeerd voor welke $n$ dit klopt, heb je aangetoond dat dit voor ieder natuurlijk getal $n$ klopt (domino-principe).

Ik zal de tweede opgave voor je uitwerken, dan kun je zelf de eerste opgave op analoge wijze oplossen.

Toon aan dat de gelijkheid juist is voor een bepaalde waarde van $n$. Neem $n = 1$ dan staat er $1^{2} = \frac{1 \cdot (1+1)\cdot(2 \cdot 1 + 1)}{6}$. Dit is een ware bewering, want na uitwerking staat er $1 = 1$.

Neem aan dat de bewering klopt voor $n$, dus $1^{2} + 2^{2} + \ldots + n^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$. Dit noem je de inductiehypothese.

Aantonen dat voor $n+1$ de bewering ook klopt (substitueer in bovenstaande de $n$ voor $n+1$), met gebruikmaking van de inductiehypothese. Dus aantonen dat $1^{2} + 2^{2} + \ldots + n^{2} + (n+1)^{2}= \frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}$. Om het iets eenvoudiger te maken, kun je de laatste twee factoren in de teller uitwerken, dus $1^{2} + 2^{2} + \ldots + n^{2} + (n+1)^{2}= \frac{(n+1)(2n^{2}+7n+6)}{6}$.

We mogen gebruiken dat $1^{2} + 2^{2} + \ldots + n^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$, dus in de vergelijking $1^{2} + 2^{2} + \ldots + n^{2} + (n+1)^{2}$ mag je de eerste $n$ termen vervangen door $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$. Er staat dan $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (n+1)^{2}$ waarvan we moeten aantonen dat dit gelijk is aan $\frac{(n+1)(2n^{2}+7n+6)}{6}$.
Maak de breuken gelijknamig, zet de factor $(n+1)$ buiten de haakjes, en werk de haakjes weg. Dus $\frac{n(n+1)(2n+1) + 6(n+1)^{2}}{6} = \frac{(n+1)(n(2n+1)+6(n+1))}{6} = \frac{(n+1)(2n^{2}+7n+6)}{6}=\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}$.

Waarmee we dus hebben aangetoond dat de formule ook klopt voor $n+1$.

Mocht je nog vragen hebben, mag je altijd op dit antwoord reageren of een nieuwe vraag stellen.

Groetjes,
Davy

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 8 oktober 2015



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2021 WisFaq - versie 3