De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Norm voldoet aan de driehoeksongelijkheid, bewijs?

In mijn cursus staat:
'De norm voldoet aan de driehoeksongelijkheid, d.w.z.
'x,y$\in\mathbf{R}$n : ||x+y||$\le$||x||+||y||

Eronder wordt het bewijs gegeven, maar ik begrijp de verschillende stappen niet.

Zij x = (x1, x2, ..., xn) en y = (y1, y2, ..., yn).

Dan is voor elke l $\in\mathbf{R}$:
0$\le$ (x1+ly1)2 + ... + (xn+lyn)2
= (x12 + 2lx1y1 + l2y12 +...+ xn2 + 2lxnyn + l2yn2
= ||x||2 +l2||y||2 + 2lS
met S = x1y1 +...+ xnyn

Als bovenstaande kwadratische uitdrukking in l voor elke l$\in\mathbf{R}$ positief moet zijn, dan moet de discriminant negatief (of nul) zijn, dus S2 - ||x||2||y||2 $\le$ 0 of dus S$\le$||x||||y||

Nu is
||x+y||2 = (x1+y1)2 +...+ (xn+yn)2
= ||x||2 + ||y||2 + 2S $\le$ ||x||2 + ||y||2 + 2|S|
$\le$||x||2 + ||y||2 + 2||x||||y|| = (||x|| + ||y||)2

Vanaf 'Als bovenstaande uitdrukking in l voor elke ... ' begrijp ik het bewijs niet meer... Kan iemand mij helpen?

Julie
Student universiteit BelgiŽ - zondag 4 oktober 2015

Antwoord

Beste Julie,

Dat de uitdrukking $\| x \|^2 + l^2\| y \|^2 2 +2lS$ niet negatief kan zijn, volgt uit de eerste regel (na "Dan is voor elke l..."). Nu het herschreven is in deze vorm herken je echter een kwadratische veelterm in de variabele $l$, namelijk (vergelijk met de standaardvorm $al^2+bl+c$):
$$\| y \|^2 l^2 + 2Sl + \| x \|^2$$Als de discriminant van deze veelterm groter is dan 0, dan is de veelterm niet overal positief (er zijn dan twee verschillende nulpunten, de veelterm verandert er van teken). Dat kan niet, dus het bewijs vervolgt met uit te drukken dat de discriminant (b2-4ac) kleiner dan of gelijk aan 0 moet zijn.

Kan je hiermee verder?

mvg,
Tom

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 4 oktober 2015
  Re: Norm voldoet aan de driehoeksongelijkheid, bewijs?  



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2021 WisFaq - versie 3