De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Groepentheorie

Zou iemand me kunnen helpen dit te bewijzen? Ik geraak er niet aan uit.

Zij G een groep met Z(G) niet gelijk aan [1] van orde p2. Bewijs dat de G abels is.

Alvast bedankt

Losfel
Student universiteit - dinsdag 31 maart 2015

Antwoord

Maak gebruik van een paar bekende stellingen: $Z(G)$ is een ondergroep van $G$, dus zijn orde deelt die van $G$; conclusie $Z(G)$ heeft $1$, $p$ of $p^2$ elementen. Het eerste geval doet zich niet voor. Maar dan is er een $a\in Z(G)$ van orde $p$. De ondergroep $H$ voortgebracht door $a$ is een normaaldeler en een deel van $Z(G)$; de quotientgroep $G/H$ heeft $p$ elementen en is dus cyklisch. Kies $b$ zo dat $bH$ een voortbrenger van $G/H$ is. Nu kun je aantonen dat elk element van $G$ van de vorm $a^ib^j$ is en dan is het Abels zijn makkelijk te bewijzen.

kphart
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 1 april 2015



home |  vandaag |  bijzonder |  gastenboek |  statistieken |  wie is wie? |  verhalen |  colofon

©2001-2023 WisFaq - versie 3