De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Vrije groepen en de universele eigenschap

Beste wisfaq,

Zij (G,*) een groep en H=$<$G| gh=g*h voor alle g en h in G$>$ een vrije groep. Ik wil bewijzen dat er een isomorphisme bestaat tussen (G,*) en H, maar het lukt mij niet om te begrijpen wat H is.

Een vrije groep is een groep Fs met een deelverzameling S van Fs, zodanig dat elk element van Fs geschreven kan worden als een product van een eindig aantal element van S en hun inversen, op slechts een manier.

De vrije groep Fs is de universele groep voortgebracht door de verzameling S.
Zij f een functie van S naar een groep G , dan bestaat er een uniek homomorphisme k:Fs-$>$G zodat ik een commutatief diagram heb:

1. S-$>$Fs
2. k: Fs-$>$G homomorphisme
3. f : S-$>$G

Dus, er bestaat een 1-op-1 correspondentie tussen de homomorphismen Fs-$>$G en functies S-$>$G.

Nu probeer ik m.b.v. de bovenstaande informatie te begrijpen wat H is.

- Moet ik G hier ook als een verzameling beschouwen, dus S=G in dit geval? En Fs=H bestaat uit elementen gh zodanig dat gh een product is, *, van elementen van de verzameling G.

- H is een vrije groep voortgebracht door door de groep G? Dus elk element g in de groep G is een voortbrenger van H?

- Uit 2. volgt dat k: H-$>$ G een homomorphisme is? Volgens mij moet ik alleen bewijzen dat k injectief en surjectief.

Interessant maar nogal lastig! Graag zou ik willen weten hoe dit op een mooie manier bewezen kan worden.

Vriendelijke groeten,

Viky

viky
Iets anders - donderdag 9 oktober 2014

Antwoord

Je vraag is nogal slecht gesteld; de notatie "$H=\langle G\mid gh=g*h$ voor alle $g$ en $h$ in $G\rangle$" snijdt totaal geen hout.
Je woorden suggereren dat $H$ een vrije groep zou moeten zijn; in dat geval hoeven $G$ en $H$ natuurlijk niet isomorf te zijn, namelijk als $G$ niet vrij is.
De rest van de vraag somt wat eigenschappen van vrije groepen op maar maakt verder niet duidelijk wat $H$ eigenlijk zou moeten zijn.

kphart
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 23 oktober 2014



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2021 WisFaq - versie 3