De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Anti-symmetrische matrices

Heeft een reŽle anti-symmetrische matrix altijd een imaginair spectrum?

Ik de cursus staat dat de eigenwaarden in paren voorkomen bij even dimensies en oneven dimensies, en bij oneven dimensies is er ook nog de eigenwaarde 0.

Ik weet echter niet hoe ze aan die conclusie komen...

Iemand die dit kan uitleggen?

Dries
Student universiteit BelgiŽ - vrijdag 23 mei 2014

Antwoord

Beste Dries,

Als $A$ een reŽle anti-symmetrische matrix is, dan geldt $A^T = -A$. Stel $x$ is een niet-nulle eigenvector van $A$ met eigenwaarde $\lambda$, dan geldt:

$$Ax = \lambda x$$ $$Ax^* = \lambda^* x^*$$ $$(Ax^*)^T = (\lambda^* x^*)^T$$ $$(x^*)^TA^Tx = \lambda^* (x^*)^T x$$Maar $A^T= -A$ en verder volgt $Ax = \lambda x$, dus
$$-(x^*)^T \lambda x = \lambda^* (x^*)^T x$$ $$- \lambda \| x \|^2 = \lambda^* \| x \|^2$$waaruit volgt dat de gelijkheid $- \lambda = \lambda^*$ moet gelden en dat kan alleen als $\lambda$ zuiver imaginair is.

mvg,
Tom

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
vrijdag 23 mei 2014
 Re: Anti-symmetrische matrices 



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2021 WisFaq - versie 3