De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Hogere homotopiegroepen

Beste wisfaq,

Ik wil graag het volgende bewijzen:

Als X wegsamenhangend is, dan zijn de homotopiegroepen van X voor verschillende keuzes van basispunt isomorf aan elkaar.

Om preciezer te zijn, ik wil graag de volgende propositie bewijzen.

Propositie Als X wegsamenhangend is, dan zijn pik(X,x0) en pik(X,x1) isomorf aan elkaar voor elke twee punten x0 en x1 in X.
Als X enkelvoudig samenhangend is dan is dit isomorfisme 'canonical' , en dus is pik een welgedefinieerde groep zonder de keuze van een basispunt.

Ik heb het bewijs voor pi1 bestudeerd en ik heb geprobeerd dit te vertalen naar hogere homotopie groepen. Ik heb alleen een schets van een bewijs maar het lukt mij niet om alle stappen correct uit te werken.

Schets van het bewijs
Zij p : [0,1] $\to$ X een pad van x0 naar x1.

We definieren een afbeelding Fp : pik(X,x1) $\to$ pik(X,x0) als volgt.

We hebben een k-kubus Ik=[-1,1]k.

Zij f : [-1,1]k $\to$ X, en t=(t1,...,tk) is in Ik. Laat m=max{|tp|}.

De functie Fp is als volgt gedefinieerd

Fp (f)(t) := {f(2t) voor m=$<$1/2 , en gelijk aan p(2(1-m)) voor m$\ge$1/2}.

Dit is een welgedefinieerde functie op homotopie groepen.

Vraag1. Volgens mij moet ik om aan te tonen dat Fp welgedefinieerd is aantonen dat voor m=1/2, f(1) gelijk is aan p(1)=x1? Maar wat is f(1)?

Fp is een groepshomomorfisme.

Vraag2. Fp (f g) = Fp(f) Fp(g). De volgende drie punten moeten hier bewezen worden maar ik begrijp niet hoe ik dat moet doen omdat ik niet weet wat hier de operatie is. Zijn f en g twee equivalentieklassen?

(1) Assiociativiteit.
(2) Het bestaan een neutraal element. Dit is meestal een constante afbeelding c : ? $\to$ ?, zodat c f = f = f c.
(3) Het bestaan van een inverse.

Uit de volgende drie eigenschappen, de punten (i)-(iii), volgt dan dat Fp een isomorfisme is:

(i) Als p homotoop is met een ander pad p' dan

Fp = Fp' : pik(X,x1) $\to$ pik(X,x0)

(ii) Stel dat p1 een pad is van x0 naar x1 en p2 een pad van x1 naar x2, en p2p1 is een samengesteld pad. Dan

Fp2p1 = Fp2Fp1 : pik(X, x2) $\to$ pik(X,x0)

(iii) Als p een constant pad is in x0, dan geldt

Fp = id_(pik(X,x0)).

Vraag3. Ik zie niet hoe ik deze drie punten (i)-(iii) kan aantonen.


Vriendelijke groeten,

Viky





viky
Iets anders - maandag 19 mei 2014

Antwoord

Vraag 1: je eigen tekst beter lezen: $t=(t_1,\ldots,t_k)$, dus $t$ is punt in de $k$-kubus $[-1,1]^k$ en $2t=(2t_1,\ldots,2t_k)$. Lees nog eens goed waar zo'n $f$ aan moet voldoen: op de rand van de kubus is $f$ constant, met waarde $x_0$. Als je goed kijkt zien je dat $F_p(f)$ op de rand constant is, met waarde $x_1$.
Vraag 2: het lijkt me dat je in je boek op kunt zoeken wat de operatie $*$ is op $\pi_k(X,x_0)$; je kunt $f$ en $g$ opvatten als equivalentie klassen maar het is makkelijker ze gewoon als functies te lezen en $F_p (f * g) = F_p(f) * F_p(g)$ als "het linker- en rechterlid zijn homotoop" en daarnaast aantonen: als $f$ en $g$ homotoop zijn dan zijn $F_p(f)$ en $F_p(g)$ het ook.
Vraag 3: eerst goed begrijpen wat $*$ is, dan kun je bewijzen dat $\pi_k(X,x_0)$ een groep is.

kphart
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 19 mei 2014
 Re: Hogere homotopiegroepen 



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2021 WisFaq - versie 3