De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Kans dat twee willekeurige kaarten zich naast elkaar in een dek van 52 bevinden

kaartruc: je laat een toeschouwer twee getallen kiezen tussen één en dertien (elk getal staat voor een kaart: één voor een aas, elf voor een boer, ...) Dan schud je het pakje kaarten en je wed dat de gekozen waarden langs elkaar zitten. De kans dat je deze weddenschap wint is groter dan 50%? Hoe kan ik die kans exact berekenen?

OPA
3de graad ASO - vrijdag 18 april 2014

Antwoord

Hallo Odile,

Volgens mij is er geen handige, snelle manier om deze kans te berekenen, omdat je onderscheid moet maken tussen veel verschillende situaties. We moeten hoe dan ook enkele 'basiswaarden' uitrekenen. Ik stel even dat de toeschouwer kiest: aas (A) en boer (B).

Allereerst berekenen we maar eens de kans dat de 4 azen op een bepaalde plaats terechtkomen (bijvoorbeeld: plaats 12, 17, 21 en 34). Deze kans is 4/52*3/51*2/50*1/49. Dit noem ik de basiskans. Uiteraard hebben alle mogelijke posities een gelijke kans.

De plaatsen naast de azen noem ik de buren. Dus als er een aas op plaats 12 zit, dan gaat het erom of deze aas een boer als buur heeft, dus op plaats 11 of 13.
Het lastige is dat er vele mogelijkheden zijn voor het aantal buren. Bijvoorbeeld: als de azen verspreid in het spel zitten, kunnen er 8 buren zijn. Maar als er slechts één kaart tussen twee azen zit, dan is er een buur minder. Als de vier azen toevallig naast elkaar zitten, zijn er maar twee buren. En als die vier azen ook nog eens helemaal aan de rand van de stapel zitten, dan is er maar één buur. Voor elke mogelijke positie van de azen moet je dus nagaan hoeveel buren er zijn, en hoe groot de kans is dat minstens één buur een boer is.

Ik reken één zo'n situatie voor:

Stel je hebt deze volgorde:

....A.A....A.....A....

Je ziet één paar azen met een gemeenschappelijke tussenliggende buur (en twee 'gewone buren), en twee 'losse' azen, elk met twee gewone buren. Er zijn in totaal 7 buren. De kans dat geen van deze buren een boer is, is:

P(geen boer als buur) = 44/48*43/47*42/46* ... * 38/42 0,520

De kans op minstens één boer als buur is dan:

P(minstens één boer als buur) = 1 - 0,520 = 0,480

Nu moet je berekenen hoeveel mogelijkheden er zijn om twee-azen-met-gemeenschappelijke-buur + twee losse azen te verdelen over het kaartspel, zodanig dat er 7 buren zijn. Hiervoor is het handig om de azen met buren te groeperen:

...(.A.A.)..(.A.)...(.A.)...

Als je elk groepje als één geheel ziet, zijn er 44 posities. Je kunt de drie groepjes verdelen op (44*43*42)/2 = 39732 manieren (delen door 2 omdat verwisseling van de twee losse azen dezelfde combinatie oplevert).

De kans dat op deze wijze minstens één boer naast een aas terecht komt, is dan:
P(boer naast aas) = 39732 x 0,480 x basiskans 0,07.

Zo zal je dit voor alle mogelijke groeperingen van azen moeten doen en de gevonden kansen optellen. Er zijn 11(!) verschillende groeperingen mogelijk:

AAAA
AAA.A
AA.A.A
A.A.A.A
AAA en A
AA.A en A
enz.

Hierbij moet je ook nog eens rekening houden dat groepjes azen aan de rand van het spel een buur minder hebben, en dat sommige groeperingen meerdere permutaties hebben (zoals: AA.A en A.AA).

Ik heb geprobeerd dit te berekenen. Ik kom op een totale kans van 0,48, dus net geen 50%. Maar garantie geef ik niet: het is dermate veel sorteerwerk en telwerk dat een vergissing snel gemaakt is.

Gilbert

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 20 april 2014



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  statistieken |  wie is wie? |  colofon

©2001-2021 WisFaq - versie 3