De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

4x4 matrix

Vraag:

Bestaan er oneindig veel reŽle 4x4 matrices A die voldoen aan A5+A3-A2-I=0

met I de eenheidsmatrix en 0 de nulmatrix , beide van orde 4.

Ik zou niet weten hoe ik dit moet bewijzen/ontkrachten...

Alvast bedankt!

Dries
3de graad ASO - woensdag 9 april 2014

Antwoord

Zonder te weten wat je hebt gehad of wat je hebt geprobeerd zou ik ook niet weten hoe jij te werk zou moeten gaan.
Wat ik zou doen is ontbinden:
$$
A^5+A^3-A^2-I=(A-I)(A^2+I)(A^2+A+I)
$$
hieruit volgt dat $A$ de volgende potentiŽle eigenwaarden heeft: $1$, $i$, $-i$, $-\frac12+\frac12\sqrt3i$ en $-\frac12-\frac12\sqrt3i$. Omdat de matrix $4\times4$ is en eigenwaarden in complex geconjugeerde paren komen valt $1$ af.
Maak nu een blokmatrix $A$ met linksboven een $2\times2$-matrix met eigenwaarden $\pm i$ en rechtsonder eentje met eigenwaarden $-\frac12\pm\frac12\sqrt3i$ (de rest vul je met nullen).
Deze matrix voldoet en ook alle matrices van de vorm $PAP^{-1}$ met $P$ een inverteerbare $4\times4$-matrix.

kphart
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
vrijdag 11 april 2014



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2021 WisFaq - versie 3