De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Irrationale getallen

Beste,

Ik dien iets te besluiten over het aantal rationale getallen vergeleken met het aantal irrationale getallen. Ze zeggen dat we hiervoor eerst best aantonen dat er tussen elk koppel irrationale getallen minstens 1 rationaal getal zit (dit heb ik reeds kunnen aantonen).

Verder dienen we ook aan te tonen dat er tussen twee rationale getallen telkens minstens ťťn irrationaal getal ligt?

Indien ik dan ook het tweede deel van dit bewijs zou bewezen hebben, zie ik niet goed wat ik hierover dan kan besluiten...

Alvast bedankt voor de hulp op deze twee vragen!

Jolien
Student universiteit BelgiŽ - dinsdag 18 februari 2014

Antwoord

Iets beter is het te bewijzen dat tussen elk tweetal reŽle getallen een rationaal getal ligt; dan volgt de tweede bewering door, gegeven $x$ en $y$ met $x $<$ y$ een rationaal getal $q$ te nemen tussen $x/\sqrt2$ en $y/\sqrt2$; dan ligt $q\sqrt2$ tussen $x$ en $y$.
Op zich kun je uit deze twee beweringen niets concluderen over de grootte van de ene verzameling ten opzichte van de andere. Dat kost meer werk. Er zijn meer irrationale dan rationale getallen, in de volgende zin: $q\mapsto q+\sqrt2$ is een injectieve afbeelding van $\mathbb{Q}$ naar $\mathbb{P}$ (de verzameling irrationale getallen wordt vaak met $\mathbb{P}$ aangeduid), maar er is geen injectieve afbeelding van $\mathbb{P}$ naar $\mathbb{Q}$.
Zie bijvoorbeeld de eerste pagina's van het dictaat bij de cursus onder de link.

Zie Verzamelingenleer (Leiden)

kphart
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 18 februari 2014



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2021 WisFaq - versie 3