De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Convergerende reeks

Als aj gegeven wordt door 2/5(3/5)^j-1, waarom is dan de som van j=1 tot oneindig van ajj gelijk aan 5/2. Kan iemand dit uitleggen aan mij???

Pieter
Student universiteit - zondag 29 december 2013

Antwoord

Beste Pieter,

Een rij uitgebreid antwoord, stap voor stap.

$
\begin{array}{l}
\sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{2}{5}(\frac{3}{5})^{(k - 1)} .k = } \frac{2}{5}\sum\limits_{k = 1}^\infty {(\frac{3}{5})^{(k - 1)} .k} \\
\sum\limits_{k = 1}^\infty {(\frac{3}{5})^{(k - 1)} .k = } (\frac{3}{5})^0 .1 + (\frac{3}{5})^1 .2 + (\frac{3}{5})^2 .3.........(\frac{3}{5})^{k - 1} k = S \\
S = (\frac{3}{5})^0 .1 + (\frac{3}{5})^1 .2 + (\frac{3}{5})^2 .3 + .(\frac{3}{5})^3 .4..........(\frac{3}{5})^{k - 1} .k \\
\frac{3}{5}S = \_\_\_\_\_(\frac{3}{5})^1 .1 + (\frac{3}{5})^2 .2 + (\frac{3}{5})^3 .3.........(\frac{3}{5})^{k - 1} .(k - 1) + (\frac{3}{5})^k .k \\
S - \frac{3}{5}S = \frac{2}{5}S = (\frac{3}{5})^0 + (\frac{3}{5})^1 + (\frac{3}{5})^2 + .......(\frac{3}{5})^{k - 1} + (\frac{3}{5})^k .k \\
\frac{2}{5}S = \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \frac{{1 - (\frac{3}{5})^{k - 1} }}{{1 - \frac{3}{5}}} + \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } (\frac{3}{5})^k .k = \frac{5}{2} \\
\frac{2}{5}S = \frac{5}{2} \Rightarrow S = \frac{{25}}{4} \\
\frac{2}{5}\sum\limits_{k = 1}^\infty {(\frac{3}{5})^{(k - 1)} .k} = \frac{2}{5}S = \frac{{50}}{{20}} = \frac{5}{2} \\
\end{array}
$

mvg DvL

DvL
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 29 december 2013



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2021 WisFaq - versie 3