De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Berekening tweede lid van een som

Goede avond,
Ik zou het tweede lid van deze som willen berekenen

a+1
(2/(k2-1))
k=2
Ik dacht:
k=2 geeft 2/3
k=3 geeft ,1/4
k=4 geeft 2/15.....
k=a+1 geeft 2/(a+1)2-1= 2/a2+2a
De reeks wordt dan
Som= 2/3+1/4+2/15+.....+2/a2+2a
Maar deze som moet aan "iets" gelijk zijn...
En dan kan ik het bewijs geven via inductie dat dit tweede lid klopt.(via enkele stappen waarvan ik voorbeelden vond in College Algebra.
Wie helpt mij op weg ?
Groeten,
Rik

Rik Le
Iets anders - zaterdag 5 oktober 2013

Antwoord

Hoi Rik,
Wat je schrijft klopt gewoon helemaal. Misschien helpt het als je zegt wat je eigenlijk wilt bewijzen? Misschien bedoel je het volgende.

$
\begin{array}{l}
\sum\limits_{k = 2}^{n + 1} {\frac{2}{{k^2 - 1}}} \\
\frac{2}{{k^2 - 1}} = \frac{A}{{k + 1}}.\frac{B}{{k - 1}} \Rightarrow Ak - A + Bk + B = 2 \\
k(A + B) + B - A = 2 \Rightarrow \\
\left\{ \begin{array}{l}
A + B = 0 \\
B - A = 2 \\
\end{array} \right\}A = - 1 \to B = 1 \\
\sum\limits_{k = 2}^{n + 1} {\frac{2}{{k^2 - 1}}} = \sum\limits_{k = 2}^{n + 1} {\frac{1}{{k - 1}} - \frac{1}{{k + 1}} = \sum\limits_{k = 2}^{n + 1} {\frac{1}{{k - 1}} - \sum\limits_{k = 2}^{n + 1} {\frac{1}{{k + 1}}} } } \\
\sum\limits_{k = 2}^{n + 1} {\frac{1}{{k - 1}} - \sum\limits_{k = 2}^{n + 1} {\frac{1}{{k + 1}}} } = 1 + \frac{1}{2} + \sum\limits_{k = 4}^{n + 1} {\frac{1}{{k - 1}} - \sum\limits_{k = 2}^{n + 1} {\frac{1}{{k + 1}}} } = \\
\frac{3}{2} - \frac{1}{{n + 1}} - \frac{1}{{n + 2}} = \frac{3}{2} - \left( {\frac{1}{{n + 1}} + \frac{1}{{n + 2}}} \right) = \frac{3}{2} - \frac{{2n + 3}}{{(n + 1)(n + 2)}} \\
\\
\end{array}
$

DvL
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zaterdag 5 oktober 2013
 Re: Berekening tweede lid van een som 



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2021 WisFaq - versie 3