De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Constructie van een cirkel

VRAAG: staat op het einde van onderstaande uiteenzetting.

Mijn gedachtegang: het middelpunt van de gevraagde cirkel moet zeker al op de bissectrice b liggen van de twee gegeven rechten p en q (m.a.w. er is al een eerste voortbrengede gekend van het gezochte middelpunt).
Als M gelegen op b, nu het gevraagde middelpunt is, dan moet de raaklijnen uit M tot de gegeven cirkel (noem de raakpunten S en T) orthogonaal zijn met de stralen van de gegeven cirkel. Er geldt dus al zeker MT=MS.
Bovendien moet MT=MS ook gelijk zijn aan de afstand r van M tot de 2 gegeven rechten.

In principe heb ik hiervoor een 'benaderde' oplossing voor gevonden, die er in bestaat opeenvolgende benaderingen te zoeken van de gevraagde cirkel (beginnend met een cirkel die de gegeven rechten snijdt en nadien niet snijdt, maar wel telkens de gegeven cirkel orthogonaal snijdt; de middelpunten van die cirkels noem ik dan M1 resp. M2; vervolgens nam ik dan het midden van het lijnstuk M1M2; de kans is dan redelijk groot dat je dan het middelpunt krijgt van de gevraagde cirkel; indien niet begint het scenario opneuw...).

Ik stel mij nu de VRAAG: Is het mogelijk rechtstreeks een tweede voortbrengende te vinden, die rechtstreeks, na snijden met de bissectrice (1e voortbrengende) het gevraagde middelpunt M oplevert. Deze laatste werkwijze zou het dan ook makkelijker maken om te kunnen achterhalen wanneer er nu een oplossing is of niet, afhankelijk van de ligging van die rechten en van de gegeven cirkel.

Hopelijk heeft iemand hier al een iets 'elegantere' oplossing voor gevonden. Bedankt voor de eventueel tip om tot een betere oplossing te komen!

Construeer een cirkel die raakt aan twee gegeven rechten p en q, Ún, die een gegeven cirkel, orthogonaal gaat snijden.

Yves D
Docent - zaterdag 18 mei 2013

Antwoord

Best Yves,
Een leuke vraag.
Je kan het probleem analytisch oplossen en dan zie je ook hoe je het zou kunnen construeren.
Teken b.v. de lijnen y=px en y=-px, die met de x-as een hoek a maken.
De bissectrice is dan de y-as.
Stel de gegeven cirkel heeft middelpunt C(x,y) en straal r.
Kies dan punt M(0,m). Er moet gelden dat d(M,C)2-r2=sin2(a)*m2.
Voor het gemak noem ik sin(a)=s en cos(a)=c.
Uitwerken geeft: c2m2-2ym+x2+y2-r2=0.
Als je die dan oplost naar m weet je de plaats van het gevraagde middelpunt M.
En je kan elk algebraisch getal construeren, hoewel je daar wel meerdere stappen voor nodig hebt, maar het lukt.
Groeten,
Lieke.

ldr
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 23 mei 2013



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2020 WisFaq - versie IIb